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2次不等式について質問です。 次の問題でなぜD<0になるのか分かりません。説明よ...

sab********さん

2019/10/2014:45:00

2次不等式について質問です。
次の問題でなぜD<0になるのか分かりません。説明よろしくお願いします。一応解説も載せておきます。

[問題]
2次不等式 y=x^2−(m−1)x+3>0 の解がすべての

実数となるとき、定数mの値の範囲を求めよ。

実数,2次不等式,m−1,M-1,x軸,放物線,問題

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ID非公開さん

2019/10/2017:00:56

「2次不等式 y=x^2−(m−1)x+3>0 の解がすべての実数となるとき、」というのは、xがどのような実数の値をとっても、y=x^2−(m−1)x+3が0より大きい値になるということです。

xy平面のグラフで表すと、x^2の係数は正なので、y=x^2−(m−1)x+3はU字型の下に凸の放物線になります。

この放物線がx軸(y=0)と交点をもったり接したりしてしまうと、その範囲(2つの交点の間や接点)のxの値ではy=x^2−(m−1)x+3は0以下の値をとるので、0より大きいという条件に反してしまいます。

なので、不等式の解がすべての実数となるためには、放物線がx軸と交点をもったり接したりしないこと、つまり、判別式Dが0より小さいことが条件になります。

判別式というのは解の公式のルートの中身のことで、ルートの中身Dが0より小さい負の値になると、それは実数でなくなる(虚数になる)ので、x^2−(m−1)x+3=0の方程式の実数解は存在しない、つまりy=0(x軸)とy=x^2−(m−1)x+3は共有点をもたないので、D<0が条件となります。

質問した人からのコメント

2019/10/23 11:12:15

おかげでテストでも解けました(*^^*)
本当にありがとうございました!

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vbo********さん

2019/10/2310:29:28

2次不等式という問題であれば
y=x²-(m-1)x+3>0
の「y=」は問題文にないのでしょうね

さて
判別式の方法を理解するのが難しいのであれば
与えられた不等式を平方完成して考えます
x²-(m-1)x+3
={x-(m-1)/2}²-(m-1)²/4+3
={x-(m-1)/2}²-(m²-2m-11)/4>0…①
となります
xがどのような実数であっても
{x-(m-1)/2}²≧0
だから
-(m²-2m-11)/4>0…②
であれば①が成立する
ということです
この②が、説明文での判別式と同じになるということです

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chi********さん

2019/10/2014:56:52

解が「すべての実数」になる場合を求めるから

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