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数学の問題です。丁寧な回答解説お願いします!!

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ID非公開さん

2019/11/300:00:03

数学の問題です。丁寧な回答解説お願いします!!

A-3x,cos²θd,回答解説,x軸,グラフ,数学,ax

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suz********さん

編集あり2019/11/710:05:23

以下、a>0の定数と仮定する。

(1)

r=a(1+cosθ)

r(-θ)=a(1+cos(-θ))=a(1+cosθ)

よって、

このグラフはx軸に関して対称、又、r'=-asinθより

だいたいのグラフを描く。

求める面積は、公式を使って、

S=(1/2)∫(0→2π)r²dθ

=∫(0→π)r²dθ

=∫(0→π)a²(1+cosθ)²dθ

=a²∫(0→π)(1+2cosθ+cos²θ)dθ

=a²∫(0→π)1dθ+2a²∫(0→π)cosθdθ+a²∫(0→π)cos²θdθ

=a²∫(0→π)1dθ+2a²∫(0→π)cosθdθ+2a²∫(0→π/2)cos²θdθ

=a²*π+0+2a²*(1/2)(π/2)

=(3π/2)a²

(2)

y=x²/(2a)とy=a³/(x²+a²)のグラフのだいたいのグラフを描く。

2つのグラフの交点を求めると、x=a, -a

S=∫(-a→a){a³/(x²+a²)-x²/(2a)}dx

対称性より、

=2∫(0→a){a³/(x²+a²)-x²/(2a)}dx

=2∫(0→a)a³/(x²+a²)dx-2∫(0→a)x²/(2a)dx.....①

ここで、第1の積分を考える。

x=atanθと置く。dx=a/cos²θdθ、

x=0の時、θ=0、x=aの時。θ=π/4

∫(0→a)a³/(x²+a²)dx

=∫(0→π/4)a³/{a²(tan²θ+1)}*a/cos²θdθ

ここで、(tan²θ+1)=1/cos²θより、

=a²*∫(0→π/4)dθ

=a²*(π/4)

=(a²π/4)

又、第2の積分を考える。

∫(0→a)x²/(2a)dx=1/(6a)*a³=a²/6

これらを①に代入して、

S=2*(a²π/4)-2*a²/6

=(3π-2)a²/6......(訂正しました)

(3)

3ay²=x(x-a)²...①....0≦x≦a

(x,-y)を代入すると、もとの式となるからグラフはx軸に対称。

y≧0の部分で、①をyについて解くと、

y=(1/√(3a))*√x(a-x)

ここで、√(3a)=Aと置いて導関数を求める。

y'=(1/A)*{(1/2)(1/√x)(a-x)-√x}

=1/(2A√x)*{(a-x)-2x}

=1/(2A√x)*(a-3x)

よって、

1+y'²=1+1/(2A√x)²*(a-3x)²

={12ax+(a-3x)²}/(2A√x)²

=(a+3x)²/(2A√x)²

よって、

√(1+y'²)=(a+3x)/(2A√x)

=(a/(2A))*(1/√x)+(3/2A)*√x

Aをもとに戻して、

={√a/(2√3)}(1/√x)+{√3/(2√a)}(√x)

よって、

曲線の長さを求める公式より、第1象限の曲線の長さLは、

L=∫√(1+y'²)dx

=∫(0→a)[{√a/(2√3)}(1/√x)+{√3/(2√a)}(√x)]dx

={√a/(2√3)}*{2√x}(0→a)+{√3/(2√a)}*{(2/3)x^(3/2)}(0→a)

={√a/(2√3)}*(2√a)+{√3/(2√a)}*{2/3*a^(3/2)}

={1/√3}a+{1/√3}a

=(2/√3)a

よって、第4象限の曲線の長さも考えて、

求める曲線の長さ=2*(2/√3)a=(4√3/3)a

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