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問題:y^2=72x^3+415x^2+797x+510を満たす自然数x,yは存在しないことを示せ こ...

tekitoukさん

2019/11/1318:45:23

問題:y^2=72x^3+415x^2+797x+510を満たす自然数x,yは存在しないことを示せ

この問題の解答を作成しました。あっていますか?

解答:

両辺を因数分解し、平方根を取る。

y=√((x+2)(8x+15)(9x+17))

3つの因数x+2、8x+15、9x+17はどの2つをとっても互いに素である。・・・①

なので、これらはすべて平方数である。

よって、mとkを互いに素の自然数とすると

x+2=m^2
8x+15=k^2

とおける。これを解くと、8m^2-1=k^2となる。ここでmod8をとると、-1≡k^2(mod 8)となる。ところがこれを満たす自然数kは存在しない。

よって題意は示された。

①の証明:

G=GCD(8x+15,9x+17)とする。A、Bを互いに素な自然数とする。

8x+15=G・A
9x+17=G・B

とおける。これを整理すると

72x+135=9・G・A
72x+136=8・G・B

となり、1=G(8B-9A)となる。よってG=1となる。

他の2通りの場合も同様にして示せる。

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お礼:
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ベストアンサーに選ばれた回答

cet********さん

2019/11/1509:30:40

あってます

質問した人からのコメント

2019/11/15 10:15:38

回答ありがとうございました!

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

gsn********さん

2019/11/1320:07:56

「どの2つをとっても互いに素
⇒ これらは平方数」はなぜですか?
反例: 3, 4, 5

このようになるようなxが存在しないにしろ、上の命題は少なくとも偽です

返信を取り消しますが
よろしいですか?

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