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線形代数の証明です。

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ID非公開さん

2019/11/2316:00:03

線形代数の証明です。

行列の概念を持ち出した証明を教えてください
https://www.camscanner.com/share/show?encrypt_id=MHg1NDQ2Yzk4Nw%3D%...

補足行列の階数の概念でした、申し訳ございません。
これを使わない証明なら自分なりには出来たと思うのですが

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ベストアンサーに選ばれた回答

ano********さん

2019/11/2711:38:39

筆者の考えていることと同じかどうかは、筆者にしか判断できないが

仮定より
x_j = Σ y_i a_{ij}
とおく [a_{ij}] は mxn 行列。

x が線形従属 ⇄ 全てが0ではない{c_j} に対し、Σ x_j c_j = 0 が成り立つ
⇄ 全てが0ではない{c_j} に対し、Σ_{i,j} y_i a_{ij} c_j = 0
なのでx=[x_j] として Ax = 0 に非自明解があれば十分。

dim(Im(f)) = rank(A) ≦ min(n,m) = m

AによるR^n→R^m の線形写像をfとする。
次元定理から dim(Im(f)) + dim(Ker(f)) = n 。
dim(Im(f)) ≦ m (これは、R^m の自然基底を考えれば明らか)
だから dim(Ker(f)) ≧ n - m ≧ 1
よって Ax = 0 には非自明解がある。

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