△ABCにおいて、Aの二等分線、Bから対辺の中点に引いた中線、Cから対辺へ下ろした垂線、これら3本の直線が共点を持つための必要十分条件は tanAcosB=sinC であることを示せ。

△ABCにおいて、Aの二等分線、Bから対辺の中点に引いた中線、Cから対辺へ下ろした垂線、これら3本の直線が共点を持つための必要十分条件は tanAcosB=sinC であることを示せ。 教えて下さい。。

数学45閲覧

ベストアンサー

0

共点を持つとき Cからの垂線の足をP ∠Aの二等分線とBCの交点をQ とすると 正弦定理より AB/sinC=BC/sinA sinC=AB*sinA /BC =AB*(CP/AC) /BC =(CP/BC)*(AB/AC) ...................① tanA*cosC=(CP/AP)*(PB/BC) =(CP/BC)*(PB/AP) ..................② チェバの定理より (AP/PB)*(BQ/QC)*(1/1)=1 PB/AP=BQ/QC=AB/AC ..............③ ①②③より tanA・cosC=sinC -------------------------- 逆は AQとCPの交点と Bを通る直線とACの交点をR としたとき ①②と tanA・cosC=sinC より ③のチェバの定理をつかって CR=RA を導けばよいでしょう。

ThanksImg質問者からのお礼コメント

ありがとうございます!!!

お礼日時:2019/11/27 18:29