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集合論的に自然数とその加法、乗法、累乗などを定義する方法を知ったのですが、整...

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ID非公開さん

2020/1/905:40:26

集合論的に自然数とその加法、乗法、累乗などを定義する方法を知ったのですが、整数とその演算はどのように定義すればよいのでしょうか?教えて頂きたいです。

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eev********さん

編集あり2020/1/909:27:18

集合論的に自然数を定義したということで,
自然数全体の集合は
ℕ:={0,1,2,3,...}
と考えます.
(0が無くても大きな違いは出ませんが…)


以下で出てくる用語の詳しい説明は省きます.
ネットで調べれば色々解説は出てくるでしょう.
僕に聞いても構いません.


ℕとℕの直積集合
ℕ×ℕ={(a,b)|a,b∈ℕ}
上の二項関係~を,
(a,b)~(c,d):⇔a+d=b+c
と定めます.
するとこれは同値関係となります.
そこで,整数全体の集合を,同値関係で割った集合
ℤ:=(ℕ×ℕ)/~
と定めます.
(a,b)∈ℕ×ℕを含む同値類は
[(a,b)]
と書きます.

集合は定義出来たので,演算を定義しましょう.
一応区別のため,ℕ上の加法と乗法は+と×,
(これから定義する)ℤ上の加法と乗法は⊕と⊗で表します.
加法⊕:ℤ×ℤ→ℤは
[(a,b)]⊕[(c,d)]:=[(a+b,c+d)],
乗法⊗:ℤ×ℤ→ℤは
[(a,b)]⊗[(c,d)]:=[(a×c+b×d,a×d+b×c)]
と定めます.

定義は見た目上出来たのですが,これでは不十分です.
⊕と⊗の定義において,同値類の代表元を使っています.
代表元の取り方は沢山あるので,
代表元の取り方によって右辺が変わってしまうと,
演算(写像)としてきちんと定義されている(well-defined)
とは言えません.
よって代表元の取り方を変えても右辺は変わらない
ということを証明しなければなりません.
つまり,次を示すと言うことです.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
[(a,b)],[(a',b')],[(c,d)],[(c',d')]∈ℤが
[(a,b)]=[(a',b')]
[(c,d)]=[(c',d')]
を満たすなら,
[(a+c,b+d)]=[(a'+c',b'+d')]
[(a×c+b×d,a×d+b×c)]=[(a'×c'+b'×d',a'×d'+b'×c')]
が成り立つ.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
同値類が等しいための必要十分条件を使えば,
単純な計算で証明出来ます.

ℕ上で減法は定義されてないので使わないように.
⊕と⊗は定義出来るか分からないので,
証明の際には使わない方が無難.

累乗は乗法の繰り返しなので帰納的に定義するだけです.

減法は写像(演算)として定義するわけではありません.
ℕの元0は,加法単位元という性質を持ちます.
ℤにも同様の元があり,
[(0,0)] (=[(1,1)]=[(2,2)]=...)
です.
これをoと書くことにしましょう.
さて,m=[(a,b)]∈ℤを任意に取ります.
m'=[(b,a)]と置くと,
m⊕m'=m'⊕m=o
が成り立ちます.
つまり,m'はmの加法逆元であるということです.
mの加法逆元m'を-mと書きましょう.
このとき,m,n∈ℤに対し,減法⊖は,
m⊖n=m⊕(-n)
と⊕を使って定義されます.つまり,略記です.


ℤの定義,ℤの演算の定義のアイデアは次です.
xy座標平面で成分が整数となる点(格子点)のみ考えましょう.
y=x-n (n∈ℤ)
という直線を引くと,全ての格子点は何れかの直線上に乗ります.
直線y=x-nとx軸の交点のx座標はnであり,
整数nと直線y=x-nは1対1対応することが分かります.
すると,各整数は直線上の格子点全体の集合と見なせます.
しかし,今定義されているのは自然数ℕだけ,
xy座標平面では第1象限とx,y軸の0以上の部分だけなので,
-2↔{(0,2),(1,3),(2,4),...}
-1↔{(0,1),(1,2),(2,3),...}
0↔{(0,0),(1,1),(2,2),...}
1↔{(1,0),(2,1),(3,2),...}
2↔{(2,0),(3,1),(4,2),...}
と対応させます.
同じ集合の元(a,b),(c,d)は
a-b=c-d
を満たします.
勿論ℕ上では減法は使えないので,
a+d=b+c
と書き換えます.
これを同値関係~の定義に使っているのです.

ℤ=(ℕ×ℕ)/~の[(a,b)]という元は,a-bという数に相当します.
よって⊕と⊗は上のような定義になっていて,
加法逆元が上のように表せることも説明出来ます.

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