次の命題は真ですか ? (逆関数、難問) 「全ての実数 x で連続な関数 y = f(x) について、

次の命題は真ですか ? (逆関数、難問) 「全ての実数 x で連続な関数 y = f(x) について、 f(α) = f(β) = α, f'(α) < -1 を満たす異なる実数 α, β が存在する」 ⇒ 「y = f(x) と x =f(y) は、y = x 上以外に交点を持つ」 証明もお願いします。

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ベストアンサー

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どちらでも同様なのでα< βとする。 S:={(x,y); α≦x≦β, f(x)≦y≦α} Sのy=xに関して対称な領域をS’とすると 十分小さいu>0に対して(α-u,f(α-u))はS‘に含まれ(∵☆)、 十分大きいv>0に対して(-v,f(-v))はS’に含まれない(∵S’の有界性)から fの連続性により、-v<t<α-uが存在して(t,f(t))はS‘の境界上の点となり、(f(t),t)はSの境界上の点、つまりf(f(t))=tとなる。 (☆) g(x):=2α-x g’(α)-f’(α)>0 なので十分小さいu>0に対して α<x<α+uならばf(x)<g(x) よって必要ならさらにuを小さくとれば T={(x,y); α≦x≦α+u g(x)≦y≦α} はSに含まれる。 y=xに関する対称を考えると T’={(x,y); α-u≦x≦α, g(x)≦y≦α+u} はS’に含まれる。 g’(α)-f’(α)>0 なので十分小さいu>0に対して α-u<x<αならばg(x)<f(x) よって必要ならuをさらに小さくとれば {(x,f(x)); α-u<x<α } はT’に(よってS’に)含まれる。

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ありがとうございます。 視覚的には分かっても、説明しにくいかと思ったのですが、 綺麗にまとめて頂きました。 イメージを載せておきます。

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ThanksImg質問者からのお礼コメント

ありがとうございました !

お礼日時:1/24 22:14