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上三角行列,Aについて、A=D+Jの分解して、Aのn乗の計算をする問題で、画像の問題が...

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ID非公開さん

2020/6/2700:02:41

上三角行列,Aについて、A=D+Jの分解して、Aのn乗の計算をする問題で、画像の問題がわかりません。

どなたか教えてください。

三角行列,n-1,問題,計算,n乗,nCk A,K-1

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カテゴリマスター

2020/6/2704:29:02

A=E+J,E は単位行列,J =

011
001
000

とすれば、

J^2 =

001
000
000

J^3 = O(ゼロ行列)

です。A^n=(E+J)^n を2項展開すれば

A^n=(E+J)^n = Σ_{0≦k≦n} nCk A^(n-k) J^k

ここで、k≧3のとき、J^k = O なので

A^n = E + nC1・J + nC2・J^2



1, n, n(n-1)/2
0, 1, n
0, 0, 1

となります。


さらに

Σ_{0≦k≦n} A^k =

Σ 1 , Σ k, Σ k(k-1)/2
0,Σ 1, Σ k
0, 0,Σ 1

=

n ,n(n-1)/2, n(n^2+3n-1)
0, n, n(n-1)/2
0, 0, n

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