(1)
固有多項式 f(t)=det(tE-B)= det
t, 0, -1
a-5,t-2,4-a
2, 0, t-3
=(t-2)xdet
t, -1
2, t-3
=(t-2)xdet
t-1, -1
t-1,t-3
=(t-2)(t-1)xdet
1, -1
1,t-3
=(t-2)^2(t-1)
固有値 1, 2(重解)
(2)
固有値1の固有空間 W(1)={x| (E-B)x=0}
E-B=
①, 0, -1
a-5,1,4-a
2, 0, -2
行基本変形：①の下を0にする
1, 0, -1
0, 1, -1
0, 0, 0
x3=c とすると一般解は x1=x2=x3=c
∴W(1)=＜(1,1,1)'＞
固有値1の固有空間 W(2)={x| (2E-B)x=0}
2E-B=
2, 0, -1
a-5,0,4-a
2, 0, -1
①, 0, -1/2
a-5,0,4-a
2, 0, -1
行基本変形：①の下を0にする
1, 0, -1/2
0, 0, 3/2 - a/2
0, 0, 0
(i) ここで、a=3 ならば
1, 0, -1/2
0, 0, 0
0, 0, 0
x2=s, x3=t とすれば一般解は
x1=(1/2)t
x2=s
x3=t
ベクトル表記して
(x1,x2,x3)'=s(0,1,0)'+t(1/2,0,1)'=s(0,1,0)'+(t/2)(1,0,2)', s, t ∈R
∴W(2)=＜(0,1,0)'，(1,0,2)'＞：2次元
(ii) a≠３のときは
２E-B
⇒
1, 0, -1/2
0, 0, １
0, 0, 0
⇒
1, 0, 0
0, 0, １
0, 0, 0
一般解は
x1=0
x2=c
x3=0, c∈R
∴W(2)=＜(0,1,0)'＞：1次元
(3)
対角化可能
⇔
各固有値の重複度＝固有空間の次元
ですから、対角化できるのは a=3 のときに限ります。
