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高校数学(数列)の問題です。 「数列{an}をa1=0、a(n+1)=2/(1+an)と定めるとき、次のことを示せ。 (1)nが偶数のとき、1<a(n+2)<an (2)nが奇数のとき、an<a(n+2)<1」

高校数学(数列)の問題です。 「数列{an}をa1=0、a(n+1)=2/(1+an)と定めるとき、次のことを示せ。 (1)nが偶数のとき、1<a(n+2)<an (2)nが奇数のとき、an<a(n+2)<1」

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数列の1/4角の添え字の記法は,Latex の記法によります。積と区別する! 「数列{a_n}をa_1=0, a_{n+1}=2/(1+a_n)と定めるとき、次のことを示せ。 a_1=0, a_{n+1}=2/(1+a_n) a_{n+1}-1=-(a_n-1)/(1+a_n) ......①, a_{n+1}+2=2(a_n+2)/(1+a_n)......② a_1-1≠0 , a_n-1≠0⇒a_{n+1}-1≠0 から,∀n ;a_n-1≠0 よって,①②から,(a_{n+1}+2)/(a_{n+1}-1)=-2(a_n+2)/(a_n-1) ∴ (a_n+2)/(a_n-1)={(a_1+2)/(a_1-1)}(-2)^{n-1}, a_1=0 ゆえ, (a_n+2)/(a_n-1)=(-2)^n, {1-(-2)^n}a_n=-2-(-2)^n a_n={(-2)^n +2}/{(-2)^n -1} i.e. a_n=1+ 3/{(-2)^n -1} 以上が習得すべき内容で, これにより,次のことは,明らかですね。 (1)nが偶数のとき、1<a_{n+2}<a_n (2)nが奇数のとき、a_n<a_{n+2}<1」