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2020/10/26 13:39

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2arctan√x +arcsinx=π/2を満たすxを求めよ。

2arctan√x +arcsinx=π/2を満たすxを求めよ。 どなたかお願いします!!

数学 | 大学数学20閲覧

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2*arctan(√x)+arcsin(x)=π/2 から 0<x<1 が条件。 α=2*arctan(√x) ト置くと 0<α<π/2。 倍角の公式から、 tan(α)=tan{2*arctan(√x)}=2√x/(1ーx) sin(α)=tan(α)/√{1+tan^2(α)}=2√x/(1+x)>0 cos(α)=√{1ーsin^2(α)}=|xー1|/(x+1)=(1-x)/(1+x)>0 β=arcsin(x) ト置くと 0<β<π/2。 sin(β)=x cos(β)=√(1ーx^2)>0 加法定理から、 α+β=π/2 cos(α+β)=cos(α)*cos(β)ーsin(α)*sin(β)=0 {(1-x)*√(1ーx^2)ー2x√x}/(1+x)=0 (1-x)^2*(1ーx^2)ー4x^3=0 x^4+2x^3+2xー1=0 x=±i のとき 左辺は 0、x^2+1 で割り切れる。 (x^2+1)*(x^2+2xー1)=0 x^2+2xー1=0 x=ー1+√2 のみ 0<x<1 を満たす。

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cos(2arctan√x + arcsinx)=cos(π/2) cos(2arctan√x)cos(arcsinx)-sin(2arctan√x)sin(arcsinx)=0 ((1-x)/(1+x))√(1-x²)-√(1-((1-x)/(1+x))²)x=0 (1-x)²(1-x²)/(1+x)²=4x³/(1+x)² 4x³-(1-x)²(1-x²)=0 (x²+1)(x²+2x-1)=0 x>0よりx=√2-1

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