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f(x,y)=x²+6xy-4y³+3y² 1)(0,0) , (3,-1) 2)(0,0)のまわり f(x,y)=x²+6xy+3y²+R₃ は明らか x-3=X, y+1=Y f(x,y)=(X+3)²+6(X+3)(Y-1)-4(Y-1)³+3(Y-1)² =26+(X²+6XY+15Y²)-4Y³ =26+(X²+6XY+15Y²)+R₃ 【別解】f(x,y) を (a,b) でテイラー展開 f(x,y)=f(a,b)+(1/1!){fx(a,b)(x-a)+fy(a,b)(y-b)} +(1/2!){fxx(a,b)(x-a)²+2fxy(a,b)(x-a)(y-b)+fyy(a,b)(y-b)²}+… 3)(0,0)付近では f(x,y) ≒ x²+6xy+3y²=(x+3y)²-3y² よって(0,0)付近では f(0,0)=0より大きい値も小さい値も存在するので、(0,0)では極値をとらない *(0,0)は鞍点 (3,-1)付近では f(x,y)=26+(X+3X)²+6Y² ≧ 26 = f(3,-1) よって f(3,-1)=26 は極小値