基礎体温を測定する口の中は、体表と比較して外の気温などの影響は受けにくくなっていますし、電気毛布などを使っているわけでもなければどんどん温度が上がるという事はありませんので、それは気になさらなくても良いと思います。
何より、基礎体温として重要なのは正確な数値を得る事ではなく、日々の推移を記録していくところにありますので、その条件が毎日だいたい同じような状況になっているのでしたら、グラフには極端に大きな影響を与える事はないと考えて良いでしょう。
現実的に、寝ている間に自然になってしまう姿勢を制御するというのも無理があると思いますし、そのせいで睡眠が浅くなってしまっては元も子もありませんから、どうぞ今まで通り測定を続けてみてください。
もし、起きた時にあまりに身体が温まっていると感じた時は、その日の記録と共にメモ欄にその内容を残しておけばそれでOKと思います。