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1/3=0.333... なら3/3=0.999...となってしまいませんか?

数学 | 算数1,015閲覧

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回答(14件)

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1と0.999…は全く同じ数で、 ただ単に、表記のしかたがちがうだけです。 なぜなら、この2つの数の引き算をしてみると 1-0.999…=0.000… となって、いつまでたっても0しか出てきません。 0が無限に続く。 0が無限に続くのだから、つまりこれは0です。 ということは、差が0なので、1と0.999…は同じ数です。 同じ数でも、表し方によって割り切れなくなって「見える」ということは ごく普通にあります。 例えば、私たちが普通に使っているのは「10進法」(10ごとに、次々に新しい位を立てて書いていく表し方)ですが、 10進法の「0.2」を、コンピュータなどの内部の処理で使っている「2進法」で表すと、 0.00110011… となって、見かけ上は割り切れなくなります。 しかし、割り切れないように見えるだけで、10進法の0.2と同じものです。 円周率も、「π」(パイ)の文字ですっきりと表せるのですが、 それを無理に10進法の小数で書いてしまうと、 3.141592… となって割り切れなくなって見える、というだけです。 もしかすると、円周率とか√2などを、数字を使ってきれいに割り切れるように書ける「なんとか進法」が、存在するかもしれません。 「110362717進法」で書けば、割り切れる形で書けるぞ! とか。 もしあったら大発見です。

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ちょっと誤解を招きそうなので補足します。 Πや√2は循環しない小数なので、ただ「なんとか進法」で表すだけではもちろん割り切れるようには書けないでしょうが、 Πは、 Π/4=1-1/3+1/5-1/7+… のようにごく単純な無限級数として表せるので、「なんとか進法」で表したあとでそこに何か或るちょっとした仕掛けを加えることで、(無限ではない)有限の級数の形で表現できそうな気はします。

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>1/3=0.333... なら3/3=0.999...となってしまいませんか? なりません そもそも 3/3なら約分して1ですよね。 それが0.99999・・・・ にはなり得ない。

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1/3=0.333... なら3/3=0.999...で間違いありません。 そして0.999...=1なので結果的に3/3=1なのです。 0.999...=1というのが感覚的におかしいと思うのは当然ですが、 証明もあるので納得するしかありません。

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良いですね。疑問を持つのは良いことです。 一つずつ整理していきますね。 まず、「1」という数。これは厳密です。いや、本当は高校数学の時点では厳密ではないのですが、高校数学でこれ以上自明な概念は無いでしょう。そこで、以下では高校数学で自明な概念は厳密なものとして扱います。 改めて、「1」という数は厳密です。 次に、「1/3」という数をどのように定義するかが問題になります。この定義は簡単です。分数を以下のように定義します。 自然数nに対し、 a×n=1 を満たすような数を1/nと定義します。つまり、nに掛けると1になるような数を1/nとします。 また、整数mに対してm/nという数は m/n=m×(1/n) と定義します。当たり前のことに感じますが、このような細かい決まりを定めることが数学では重要です。 これによって整数と分数が厳密に定義されました。問題はここからで、小数をどのように定義するかという話です。 まず、小数のことを理解するために普通の整数はどのようなルールによって記述されているか考えてみましょう。 例えば、「123」という数は左から順番に並んでいる順番が重要ですよね。「321」としてしまったらもうそれは別の数です。つまり、整数を表記するルールには順番が関係していそうです。そのルールを把握するために、0~10までの数字だけを使ってこの数字を表すことを考えます。「そんなことできるのか?」と思われるかもしれませんがそれが実は出来ます。 「123は100が□個と、10が□個と、1が□個でできています」 こんな問題を小学校でやったのではないでしょうか?これを使います。 123は100が1個と、10が2個と、1が3個でできています。これを改めて式で表します。 「100が1個」は「1×100」 「10が2個」は「2×10」 「1が3個」は「3×1」 と表せますので、 123=1×100+2×10+3×1 となります。ここで、10の累乗について考えます。 10⁰=1 10¹=10 10²=100 であることを利用すれば、先ほどの式は 123=1×10²+2×10¹+3×10⁰ となり、123を0~10の数字だけで表すことが出来ました。この規則で行くと、数字は右に行くほど10の指数が減ると考えられます。そこで、 0.1=0×10⁰+1×10⁻¹ と定義します。これ以下の位についても同様です。 0.01=0×10⁰+0×10⁻¹+1×10⁻² というような感じです。 これによって、有限桁の小数が定義できました。 0.5=0×10⁰+5×10⁻¹=0+5×/10=1/2 となるので、有限桁の小数は分数の表現を変えたものということが分かります。 次の問題は無限桁の小数です。 0.333.... このような表現をされた数をどのように考えるべきでしょうか? これは、先ほどの類推で 0.333...=3×10⁻¹+3×10⁻²+3×10⁻³+... という足し算を無限に足すこととして定義しましょう。「無限に足す」というのが厳密ではありませんが、無限に足すということは高校数学の極限で定義することができます。なので、この無限の和が計算できることは認めてよいです。 x=0.333...=3×10⁻¹+3×10⁻²+3×10⁻³+... と置いてみましょう。 x=3×10⁻¹+3×10⁻²+3×10⁻³+... この式と、この両辺に10を掛けたものを並べて書いてみます。 10x=3×10⁰+3×10⁻¹+3×10⁻²+... x=3×10⁻¹+3×10⁻²+3×10⁻³+... 右辺の「3×10⁻¹+3×10⁻²+3×10⁻³+...」の部分は一致するので、上から下を引いて 9x=3×10⁰=3 9x=3 x=1/3 となります。元の式と比較すると 1/3=0.333... となります。両辺に3を掛けると 3×(1/3)=3×(3×10⁻¹+3×10⁻²+3×10⁻³+...) 1=9×10⁻¹+9×10⁻²+9×10⁻³+... 1=0.999... となります。つまり、「0.999...」は1の別の表現といえます。 1/2を0.5と別の表現をしたように、 1/3を0.333...と別の表現をしたように 1も0.999...と別の表現ができるのです。

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