5x²+2xy+y²=4 の囲む面積を教えてください。

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-θ回転してu,vを定義する。 x=ucosθ-vsinθ,y=usinθ+vcosθを代入 5x²+2xy+y²=4から 5(ucosθ-vsinθ)²+2(ucosθ-vsinθ)(usinθ+vcosθ)+(usinθ+vcosθ)²=4 uvがなくなるには -10sinθcosθ+2cos2θ+2sinθcosθ=0 cos2θ-4sinθcosθ=0よりTan2θ=1/2 ∴Cos2θ=2/√5,sin2θ=1/√5 このとき u^2(5cos^2θ+sin^2θ+sin2θ) +v^2(5sin^2θ+cos^2θ-sin2θ)=4から Cos2θ=2/√5,sin2θ=1/√5を代入して u^2(4/√5+1√5+3) +v^2(6/√5-1/√5+3)=4より u^2+v^2=4/(√5+3) 面積=4π/(√5+3)=(3-√5)π

u^2(5cos^2θ+sin^2θ+sin2θ) +v^2(5sin^2θ+cos^2θ-sin2θ)=4から Cos2θ=2/√5,sin2θ=1/√5を代入して u^2(4cos^2θ+sin2θ+1) +v^2(-4cos^2θ-sin2θ+5)=4 u^2(2(cos2θ+1)+sin2θ+1) +v^2(-2(cos2θ+1)-sin2θ+5)=4 u^2(2cos2θ+sin2θ+3) +v^2(-2cos2θ-sin2θ+3)=4 u^2(4/√5+1/√5+3) +v^2(-4/√5-1/√5+3)=4 u^2(√5+3)+v^2(-√5+3)=4 u^2/(3-√5)+v^2/(3+√5)=1 面積=π×√(3-√5)√(3+√5)=2π 計算間違えた

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A= 5.........1 1..........1 とおく。 すると、 5x²+2xy+y² ='(x, y)A(x, y) とかける。ただし、任意の行列Bに対して'BをBの転置行列とする。 Aの固有値は、単位行列Iに対して、det(xI-A)=x^{2}-6x+4=0 が成り立つので、x=3+√5, 3-√5となる。 Aは実対称行列なので、ある直交行列Pが存在して、 P^{-1}AP= 3+√5...........0 0...............3-√5 となる。 '(x, y)=P^{-1}'(X, Y) とおくと、 5x²+2xy+y² ='(X, Y)PAP^{-1}(X, Y) =(3+√5)X^{2}+(3-√5)Y^{2} となる。 D={(x, y)|5x²+2xy+y²<=4}とおくと、 求める面積Sは、 S=∫∫[D]dxdy である。 '(x, y)=P^{-1}'(X, Y) と変数変換すると、Jacobiの変数変換公式から、 dxdy=det|P^{-1}|dXdY となる。 Pは直交行列だから、det|P^{-1}|=1>0となる。 そして、行列P^{-1}を表す一次変換fによって、 f(D)={x, y)|(3+√5)X^{2}+(3-√5)Y^{2}<=4} となり、det|P^{-1}|=1>0より、 Dとf(D)は全単射対応となる。 従って、 S=∫∫[D]dxdy =∫∫[f(D)]dXdY =∫∫[(3+√5)X^{2}+(3-√5)Y^{2}<=4]dXdY となる。すると、Sは 短軸√(4/(3+√5))と長軸√(4/(3-√5))の楕円の面積なので、 S=π√(4/(3+√5))・√(4/(3-√5))=2π となる。