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2021/5/18 0:03

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微分方程式y(1-logy)y''+(1+logy)(y')^2=0の解き方を教えていただきたいです。答えはy=e^(1-1/(cx+d)),y=f(c,d,fは定数)

数学 | 大学数学15閲覧

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y*{1ーlog(y)}*y''+{1+log(y)}*(y')^2=0、(自律方程式, y>0) y'=p ト置くと y''=p'=dp/dx=(dp/dy)*(dy/dx)=(dp/dy)*p y*{1ーlog(y)}*(dp/dy)*p+{1+log(y)}*p^2=0 p=y'=0 → y=C>0 は特異解。p≠0 のとき、 dp/dy={log(y)+1}*p/{y*{log(y)ー1}}、(変数分離形) ∫dp/p=∫{log(y)+1}/{y*{log(y)ー1}}dy 右辺で log(y)=t ト置くと dy=y*dt ∫{log(y)+1}/{y*{log(y)ー1}}dy =∫(t+1)/(tー1)dt =∫1+{2/(tー1)}dt =t+2*log(tー1)+C =log(y)+2*log{log(y)ー1}+C log(p)=log(y)+2*log{log(y)ー1}+a p=y'=A*y*{log(y)ー1}^2、(変数分離形) ∫dy/{y*{log(y)ー1}^2}=A∫dx、(左辺は先と同様に置換) 1/{1ーlog(y)}=Ax+B 1ーlog(y)=1/(Ax+B) 一般解:y(x)=e^{1-{1/(Ax+B)}}、(特異解を含む)