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2021/7/25 19:14

55回答

2021 明治学院大学の入試問題です。

数学 | 高校数学68閲覧xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">50

ベストアンサー

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質問者2021/7/25 19:41

ありがとうございます!自分はケアレスミスをしていたため、解答まで行きつかなかったことが分かりました!

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10^130/13, 何の知識も無く、初見でこの問題を解くには、以下の様に考えます。 10^130を13で割った余りが何になるかを求める問題と認識しました。 規則性を見つけることにします。 10^2=10(13-3) =130-30 =130-39+9 =13*7+9, ∴ 10^2≡9(mod13) 10^4≡9^2(mod13) =81(mod13) =3(mod13), 10^8≡3^2(mod13) =9(mod13), 10^2≡9(mod13), と同じ。 ∴ 9≡{9(10^6)} (mod13), という規則はある。 130=6*21+4, 10^130=10^4(10^6)^21, =10^2{(10^6)^21}10^2 ≡9{(10^6)^21}10^2 (mod13) ≡9(10^2) (mod13) ≡9*9 (mod13) ≡3 (mod13), これで、 10^130を13で割った余りが3だと分かりました。 3/13=0.30・・・ よって、10¹³⁰/13の小数第1位は3である。 (解答おわり)

どこで計算を間違えたか、検算をします。 3/13=(1/100)300/13 =(1/100)*23.・・・ =0.23・・・ 暗算による計算間違えでした。 暗算は禁物ですね、、、 正しい解答は、 10¹³⁰/13の小数第1位は2である。 (解答おわり)

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スマートな回答は最初のお二方がされているので ひらめかなかったとき用の解き方を(やや力技)。 1/13=0.07692307…で 小数第一位から第六位の076923が循環節である。 130≡4 (mod6)より 10¹³⁰/13と10⁴/13の小数第一位は等しく 10⁴/13=769.2307…だから2。

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質問者2021/7/25 19:45

解答ありがとうございます。自分が思い付いた合同式でやれなかった場合、こういうやり方でも解答できる力は必要ですよね。 mod"6"に着目した理由はなんでしょうか?よろしくお願いします。

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合同式いいと思いますよ。 1000≡-1 (mod13) 130=3×43+1であるから 1000^130≡10×(-1)^43 =-10 -10≡3(mod13)であるから少数第一位は3÷13=0.23...で2 どうでしょうか

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質問者2021/7/25 19:43

解答ありがとうございます! 1000という数字にまず着目した理由は何でしょうか?