小学生にわかりやすい解説をお願いします。 2個以上の連続した整数をたすと2009になる組は全部で何組ありますか。 答えは5組となっています。 よろしくお願いします。

算数 | 中学受験171閲覧

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ThanksImg質問者からのお礼コメント

子どもがこちらの解説でよくわかったとのことです。皆さまありがとうございました。

お礼日時:9/17 18:51

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小学生には無理でしょう。 17+18+......+65の計算をわかりやすく説明するのはムリ 17、29、137、284、1004と確かに5通り

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最初の数 m, 最後の数M とすると, (m+(m+1)+…+M)+ (M+(M-1)+…+m)=(M+m)×(M-m+1)になっている =(M+m)×(M+m-(2m-1))です. つまり K=M+m はとおけば, 2009×2=K(K-奇数)となっています. つまり二つの偶奇の異なる積への分解を調べればよいです. 2009の約数 1,7,41,7^2=49,7×41=287, 7^2×41=2009 4018 の約数 1,7,41,49,287,2009 4018,574, 98, 82, 14,2 よって組み合わせは (1,4018), (7,574),(41,98),(49,82),(287,14), (2009,2) それぞれの M と m を計算すると, (m,M)=(2009,0), (284,290), (24, 74), (17, 85), (137,150), (1004,1005) このうち, (2009,0)は(m>Mとなり)不適なので、 5通りです. (組み合わせが 6 通りあって, (1,4018) が不適で 5通りです) 小学生の問題としては、少し意地悪な気もします。 試行錯誤も難しいので。

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>小学生にわかりやすい解説をお願いします。 うーーん、無いと思います。 もし、実戦の限られた時間内で突破口が見つけられるような種別の問題じゃない。 それを察知して、1分考えて・・・・・他に回りました。 うん、君は大正解、よくやった そういう問題の典型じゃないでしょうか? 出題はどこの中学ですか

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最小の数から最大の数を順番に並べ、その下に今度は最大の数を順番に並べる。そして上の数と下の数をそれぞれ足す。足した数は全て同じ数になる。これを□とする。 最小,・・・・,最大 = 2009 + + 最大,・・・・,最小 = 2009 Ⅱ Ⅱ 注1) □ ,・・・・, □ = 4018 できた□を全部足すと、 2009×2=4018 最小の数から最大の数まで△個の数字が連続するとすると、□は△個出来ることになるから、 □×△=4018 △となり得る数は4018の約数であることが分かる。 そこで4018の約数を求める。まず4018を素因数分解する。 4018=2×7×7×41 このことから4018の約数は、 1,2,7,14,41,49,82,98,287,574,2009,4018 2個以上の数が連続するのだから △=1はあり得ない。 残る11個について、最小の数を0と仮定してみる。すると最大の数は△-1である。つまり最小の数と最大の数の合計の最小値は△-1である。すると□の最小値は△-1である。11個の△について各々□を求めて△-1より小さい□となる△を除くと、残る△は、 2,7,14,41,49 の5個となる。 注2) この5通りのそれぞれで、最小の数が題意通り整数となることを確認する。最小の数は{□-(△-1)}÷2で得られる。この解が整数になる時、{ }の中身は偶数になる。すると□が偶数なら△-1も偶数、もしくは□が奇数なら△-1も奇数である。つまり□が偶数なら△は奇数、□が奇数なら△は偶数である。 □×△=4018なのだから、□は4018の素因数を幾つか掛けた数で、ここで使わなかった残りの素因数を掛けた数が△である。 注3) 4018を素因数分解しても2は1個しかないから、□が偶数の時、△は必ず奇数。また□が奇数の時、△は必ず□となる。 注4) したがって{□-(△-1)}÷2、つまり最小の数は5個のどの△でも整数になる。 よって題意の連続する数の組み合わせは5通りある。 注1)=を立てた文字が見つからなかったのでローマ数字の「Ⅱ」で代用しました。 注2)事前に(□,△)の組を全部書き出した方が分かりやすいとは思いますが、慣れてくると△を全て書き出せば□は書き出さなくても全て分かるようになります。△が最小なら□は△の最大の数であり、△が2番目に小さな数なら□は2番目に大きな△となる関係があるからです。書き出した△の列を逆順に並べたものが□の列です。 注3)注4)さらっと説明しましたが、最難関校レベルの子でなくてはこの程度の説明では理解できないでしょう。しかし普通の子でも理解できるように説明すると、注3)注4)ともに結構な文量を必要とするので、このように説明しました。 この説明で理解できそうな子はともかく、それ以外の普通の子は、他の方がおっしゃるように、この問題は捨て問として流すべきでしょう。

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1~100を足すと101×100÷2=5050になりますね。 2個の数字なら足して2009になる数 3個の数字なら最大最小を足して2009÷(3÷2)=1339.3…になればいい ⇒整数じゃないから無理(整数になる数なら組み合わせがあるかも) 同様に 4個の数字なら最大最小を足して2009÷(4÷2)=1004.5…になればいい ⇒× 7個の数字なら最大最小を足して2009÷(7÷2)=574になればいい ⇒整数になった(7は2009の約数だから) つまり2009の「約数」と「その2倍」が候補になる。 残りは 14個:130,131,132,…,155,156,157