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2021/9/24 1:32

33回答

三項間漸化式の方程式の解がα、βのとき

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また、隣接三項間(線形)(斉次)漸化式といいます。 線形は全部一次の項しか入ってない漸化式の意味。 斉次は右辺が0の漸化式の意味。 a[n+2]+pa[n+1]+qa[n]=1とか a[n+2]+pa[n+1]+qa[n]=nとか a[n+2]+pa[n+1]+qa[n]=2^nとかは 右辺が0の漸化式ではないから 非斉次漸化式。

ThanksImg質問者からのお礼コメント

ありがとうございました

お礼日時:9/27 1:29

その他の回答(2件)

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今まで解いてきたであろうその漸化式を、一般化するだけです。 ただし、その形になるのは α≠βであることが条件です。

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a[n]=p・a[n-1]+q・a[n-2] … ① のとき、x²-px-q=0 の2解をα, βとすれば α+β=p, αβ=-q … ② α≠βのとき、①は次のように変形できる a[n]-α・a[n-1]=β(a[n-1]-α・a[n-2]) … ③ a[n]-β・a[n-1]=α(a[n-1]-β・a[n-2]) … ④ (いずれも②を使って整理すれば、①と同値) ③より a[n]-α・a[n-1]=β(a[n-1]-α・a[n-2])=…=βⁿ⁻²(a[2]-α・a[1])=B'βⁿ⁻² (B'=a[2]-α・a[1] とおいた) β・a[n]-αβ・a[n-1]=B'βⁿ⁻¹ … ③' 同様に、④より α・a[n]-αβ・a[n-1]=A'αⁿ⁻¹ … ➃' (➃'-③')/(α-β)より a[n]=(A'αⁿ⁻¹-B'βⁿ⁻¹)/(α-β) ここで、A=A'/{α(α-β)}, B=-B'/{β(α-β)}と置き換えれば a[n]=Aαⁿ+Bβⁿ を得る