数学の質問です。塾の宿題で、 次のxの4次方程式について考える。 (x^2-2x)^2-2a(x^2-2x)+1=0 ...①

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ThanksImg質問者からのお礼コメント

なるほど!ありがとうございました。

お礼日時:2021/11/28 12:22

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Ⅰ x^2-2x=t‥‥①、とする。 従って、x^2-2x-t=0が異なる2つの実数解をもつから判別式>0. よって、t>-1 ‥‥② Ⅱ この時、方程式は、f(t)=t^2-2at+1=0 ‥‥③、である。 ①において、②の条件では、xとtの対応は、2対1である。 従って、方程式:③が、②を満たす2つの異なる実数解をもつとよい。 つまり、判別式>0、f(-1)>0、軸>0、であれば良い。 計算すると、a>1.

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①の左辺をf(x)=g(X)とおくと、 f(x)=0が相異なる4つの実数解を持つ ⇔g(X)が相異なる2つの実数解をもち、かつX=0が相異なる2つの実数解をもつ といえます。(どっちかが重解/複素数解を持つなら、解は3つ以下になってしまう。) つまり、前半部分の条件はすでに(1)で求めているので、後半部分の条件も求めて組み合わせれば答えになります。