計算について質問。a+(b+a)=2a+bとなることは和の結合、交換法則が成り立つことから証明できると思いますが(a+b)+(2a+3b)=3a+4bとなることは理解できません。

中学数学 | 算数126閲覧

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和に関する結合法則は「任意の」整数 x,y,z に対し, (x+y)+z=x+(y+z) が成立するという性質です. 和に関する交換法則も, 同様に「任意の」整数 x,y に対し, x+y=y+x が成立するという性質です. 質問者さんのいうことに補足すると, 和は二つの整数に一つの整数を与える対応ですが,3個以上の和を考えると,「どの二つから計算していくか」という問題が起きます。どの二個をとって計算していくかを示しているのが,括弧のつけ方なのですが,結合法則は3個の場合の法則になっているわけです。しかし,3個の場合から,4個以上でも「どの二個を選んで計算していっても結果が同じ」という性質が導かれて,これが,括弧を外して良い理由になります。 そして交換法則も二個の和に関する性質ですが,3個以上であっても,結合法則と組み合わせることで「和をどのような順番で計算しても結果は変わらない」という性質が導かれます。 括弧は4個以上とかになると,増えてきてどこが対応しているのかわかりにくくなります。その括弧が「外せて,計算の順番に寄らない」ということがわかれば「計算しやすい形」で計算できることになります。 教科書に書いてあるかどうかはわかりませんが,基本的なことではあると思います。

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教科書のことは分からないが, こういう場合括弧を自由に外していいんですよ。

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カッコを外しても、計算結果は変わりません。 カッコを外すことによって計算が簡単になるか、余計難しくなるかはケースバイケースです。 カッコを外したほうが後の計算が簡単になったり、何か糸口がつかめそうならカッコを外します。

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括弧を外してしまえばそうなることが結合、交換法則から示せます。 (a+b)+(2a+3b) =a+b+(2a+3b) =a+(2a+3b)+b =(a+2a)+3b+b =3a+4b