自作問題ですけど同じような問題あるかもしれません。 いろんな解法募集します。 独断でベストアンサーを決めたいと思います。

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補足

一応、算数での解き方を1通り用意してますがいろんな解き方あると思います。

算数 | 中学数学727閲覧

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まあ、質問者さんの書いた解法と本質的に変わらないんですけど、 図のように、問題の三角形を△ABCとして∠Bの二等分線とACの交点をDとします。(この辺りまでは出題者側で設定しておいて欲しいです) 線分BD上にCE=CDとなる点Eをとり、DEの中点をFとすると、 △CFD∽△BFC∽△BCD △BCE∽BAD なので、 FD:FC=FC:FB=1:3 ∴DF:FC:FB=1:3:9 ∴CB:AB=CE:CD =(CF-FE):(CF+FD) =(9-1):(9+1) =4:5 ゆえに AB=3×(5/4)=15/4 (cm)

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算数では無理かもしれませんね。 90度の角をC ACの間の交点をDとする。 Dから辺ABに平行な線を引く。BCとの交点をEとする。 平行なので∠ABC=∠DEC=●×2 ∠EDB+∠EBD=∠DEC ∠EDB+●=●×2 ∠EDB=●なので、△EDBは二等辺三角形 EB=xとすると DE=x、CE=3-x 三平方の定理から CD^2+CE^2=DE^2 1^2+(3-x)^2=x^2 1+(9-6x+x^2)=x^2 10-6x=0 10=6x x=5/3 CE=4/3 CE:CA=CE:CB 1:CA=4/3:3 1×3=CA×4/3 CA=9/4 CA=9/4、CB=3なので 三平方の定理から CA^2+CB^2=AB^2 (9/4)^2+3^2=AB^2 81/4+9=AB^2 117/4=AB^2 AB=(√117)/(√4) AB=(3√13)/2