ご質問者様が色々と不愉快な思いをされたことは分かりますし、「ゴキブリの発生源はほぼ隣だと思っている」のも無理のないことでしょう。 しかし、第三者の立場から冷静に判断すると、ゴキブリの発生原因が隣である証拠はなく、仮に隣で発生していてもそれがご質問者様宅に移動したことを証明する手立てはありません。今年の夏はチャバネゴキブリの駆除で相当苦労した・ということですが、それが初めて出たものであってもそうでなくても、ご自宅内の害虫管理はその部屋の住人の責任範囲であるのが一般的なルールなのです。 また、隣の方が本当に退去したのかどうかがはっきりしないことと、「ゴキブリは夏以来ほぼ見なくなりました」ということならご質問者様宅内に現時点で被害はないわけですから、この状況で「隣の部屋の状態など、駆除も含めてどうにかしてもらう」というのは、具体的に何をしてもらいたいのかもはっきりせず、難しいと思います。 起きている事実「アパートの廊下にゴキブリの死骸が十匹ほど転がっており、同じように何かの部品のようなものが散乱してました」を管理会社に報告して、それを片づけてもらうことはできると思いますが、隣の部屋内のことまでは手を出せないと推定します。