一般的な角度 α に対して， tan 2α = 2 tan α / (1 - tan² α) が成り立つのは，二倍角の公式として知られています。 ここで，角度 1° に対して，公式の α に 1° を代入すれば， tan 2° = 2 tan 1° / (1 - tan² 1°) とかけます。 これだけの話です。 tan 1° = tan α と比較して， tan 2° = tan 2α を導き出したのではなく， α = 1° のとき，2α = 2° という当たり前のことを使って導き出しているのです。 なお，この問題の解説では tan 60° = √3 であり，√3 は無理数であるということは自明であるとされていますが，より厳密に証明したいのならそれらも証明すべきでしょう。 しかしこの問題は実は 2006 年京都大学で出題された問題であり，解答欄も大きくないためそこまで証明するのは不可能でしょう。 だから妥協して，画像のような解答でも許されるのはないかと思われます。 しかしもし証明するとしたら，正三角形と三平方の定理を用いて証明するのがよいかと思います。ですがそれなら，三平方の定理が成り立つことの証明もしなければなりません。その過程で，また証明しなければならないことが出てくることもあります。 このように，あることを証明するためには，ある程度相手に認めてもらう必要があるのです。数字に関する証明をするときに， 0 + a = a とか 0 × a = 0 とかの証明(というか説明)を加えていたらきりがありませんね。 だからこれらは，認めてもらう必要がありますね。 これと同じように，この設問に対しても，tan 60° = √3 であり，√3 は無理数である ということは相手に認めてもらうという手段を取らざるを得ないのです。 以上です。