バカな計算ミスを訂正する。 但し、問題は難しくはないが、結構いやらしい問題。 条件：x +y+z=1‥‥①。 Ｆ＝(x+y)(y+z)(z+x)-4xyz、とする。 対称性から、z≧y≧x≧0、としても一般性を失わない。 よつて、3x≦x+y+z≦3z → 3x≦1≦3z → 0≦x≦1/3、z≧１/3‥‥② Ⅰ ‥‥最小値 どれか２つが0の時、 つまり、①より、ｘ＝ｙ＝0、ｚ＝1の時だから、 Ｆ≧0. Ⅱ ‥‥ 最大値 この時、x+y＝1－z、y+z＝1－x、z+x＝1－y、だから Ｆ＝(x+y)(y+z)(z+x)－4xyz＝(1－z)(1－x)(1－y)－4xyz＝ 途中で①を使って計算すると＝xy+yz+zx－5xyz＝ x(y＋z)＋ｙｚ*(1－5ｘ)＝x(1－x)＋ｙｚ*(1－5ｘ) ‥‥②、になる。 ①を考えると、場合分けが発生する。 ・1－5ｘ≧0の時 ‥‥ ①より、0≦x≦1/5 ‥‥③ 相加平均・相乗平均より、(ｙ＋ｚ)＾2≧4*ｙｚ。等号は、ｙ＝ｚ‥‥④ よって、 Ｆ＝ｘ(1－x)＋ｙｚ*(1－5ｘ)≦ｘ(1－x)＋(ｙ＋ｚ)＾2/4*(1－5ｘ)＝ ｘ(1－ｘ)＋(1－ｘ)＾2*(1－5ｘ)/4、になる。 つまり、4F＝4ｘ(1－ｘ)＋(1－ｘ)＾2*(1－5ｘ)、である。 ここで、4F＝f(x)＝4ｘ(1－ｘ)＋(1－ｘ)＾2*(1－5ｘ)として微分すると f´(x)＝－(5x－3)*(3x－1)、だから、③より、 0≦x≦1/5の条件で増減表を書くと x＝0で最大であり、 f(0)＝1、である。 この時、①と④から、ｙ＝ｚ＝1/2. 従って、4Ｆ≦1 → Ｆ≦1/4、である。 ・1－5ｘ≦0の時 ‥‥ ①より、1/5≦x≦1/3‥‥④ Ｆ＝ｘ(1－x)－ｙｚ*(5ｘ－1)、だから、②より、 2/3≦y＋z≦4/5、＆、②よりz≧１/3、だから、ｙｚは、 ｙ＝z＝1/3で最大。 つまり、9*Ｆ＝9ｘ(1－x)－(5ｘ－1)＝－9(x－2/3)＾2＋5。 これは上に凸の２次関数だから、④より、x＝1/3で最大。 この時、9*Ｆ＝4/3. よって、F≦4/27、である。 この時、ｘ＝ｙ＝z＝1/3 。 以上から、1/4＞4/27より、0≦Ｆ≦1/4.