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2022/6/16 15:13

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x,y,zは0以上の実数でx +y+z=1を満たすとき、(x+y)(y+z)(z+x)-4xyzの最大値と最小値の求め方を教えてください。高校数学

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ThanksImg質問者からのお礼コメント

皆さまありがとうございました! 相加平均・相乗平均から、 (x+y)≧2√xy、(y+z)≧2√yz、(z+x)≧2√xz。 これら3つを掛けると (x+y)(y+z)(z+x)≧8xyz、だから (x+y)(y+z)(z+x)≧8xyz≧4xyz≧0

お礼日時:6/17 9:39

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(2変数の)相加平均と相乗平均の不等式より、 (x+y)(y+z)(z+x)-4xyz≧4xyz≧0. x=y=0,z=1とすれば、x,y,zは0以上でx+y+z=1, (x+y)(y+z)(z+x)-4xyz=0. よって、最小値は0 A=(x+y)(y+z)(z+x)-4xyz =(x+y)(1-x)(1-y)-4xy(1-x-y) =(x+y)(1-(x+y)+xy)-4xy(1-(x+y)) =(x+y)-(x+y)^2+xy(x+y)-4xy+4xy(x+y) =-(x+y)^2+5xy(x+y)-4xy+(x+y) =-(x+y)^2+(5xy+1)(x+y)-4xy u=x+y, v=xyとおく。まずu (0≦u≦1)を固定して考える。 0≦v=x(u-x)≦(u/2)^2 A=-u^2+5uv-4v+u =(5u-4)v-u^2+u (i) 4/5≦uのとき、 A≦(1/4)(5u-4)u^2-u^2+u =(5/4)u^3-2u^2+u≦(5/4)-2+1=1/4 f(x)=(5/4)x^3-2x^2+x f'(x)=(15/4)x^2-4x+1 4/5≦x≦1のとき、f(x)≦f(1)=1/4, ∴A≦1/4. x=y=1/2,z=0のときA=1/4 (ii) 0≦u≦4/5のとき、 A≦-u^2+u≦1/4 (x+y=1/2, xy=0, (x,y,z)=(0,1/2,1/2), (1/2,0,1/2)のときA=1/4 以上から、最大値は1/4. x=y=zのとき最大値をとると思ってしまったので、時間が掛かってしまいました。。。

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質問者2022/6/16 23:24

ありがとうございます!ちなみにこの問題解くのに何分くらいかかりましたか? 問題レベルは早慶レベルですか?

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とりあえず答えだけ 最小値は 0 (x=1,y=z=0) 最大値は 1/4 (x=y=1/2,z=0) ちなみに 1/4>4/27 です (x+y)(y+z)(z+x)-4xyz =(1-z)(1-x)(1-y)-4xyz =1-(x+y+z)+(xy+yz+zx)-5xyz =(xy+yz+zx)-5xyz =(x+y+z)(xy+xz+yz)-5xyz =x^2y+x^2z+y^2x+y^2z+z^2x+z^2y-2xyz https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10219753735

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質問者2022/6/16 23:24

ありがとうございます!ちなみにこの問題解くのに何分くらいかかりましたか? 問題レベルは早慶レベルですか?