オンライン申請だからといってもパスポートは預ける必要があると思われます。 加えて、韓国のVISAが下りるのに期間が必要(申請→即交付とはならない)なため ８月L.A、９月韓国は行けないと言われたのではないですか？ ８月の第一週にL.A、第二週目の頭に帰国して即韓国のVISA申請(場合によってはL.A滞在中にオンライン部分は終わらせる)で ９月の最終週に渡韓なら可能かもしれませんが。