指定教習所は全国どこを利用しても構いません。しかし、教習所を卒業するだけでは免許は取れません。最終的に運転免許試験場に出向いて併記の手続きをする必要があります。その併記の手続きは、免許証に記載されている住所の都道府県でしかできません。 よって、質問者さんの持っている免許証の住所が愛知県のままなら、愛知県で併記をするか、神奈川県に住所変更の手続きをしたうえで神奈川県で併記をするか、の二択になります。既に神奈川県に住所変更をしているなら逆ですね。