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原点をOとして双曲線X^2/4-y^=1と原点を通らない任意の直線mとの交点をA、...

dh0********さん

2009/7/2613:22:16

原点をOとして双曲線X^2/4-y^=1と原点を通らない任意の直線mとの交点をA、Bとする。またy=x/2とy=-x/2とmとの交点C、Dとするときmによらず三角形OAD=三角形OBCがmによらず成立することを示せ

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ベストアンサーに選ばれた回答

ju__さん

2009/7/2914:36:08

参考です
(直接面積を求めた場合の概略です)

双曲線:x^2/4-y^2=1
直線:y=ax+b として
【交点を持つために(a≠±1/2,b≠0,4a^2-b^2<1)】

●A,B,C,Dの各座標求めると
A(x1,y1)
x1={4ab-2√(b^2-4a^2+1)}/{1-4a^2}
y1={b-2a√(b^2-4a^2+1)}/{1-4a^2}

B(x2,y2)
x2={4ab+2√(b^2-4a^2+1)}/{1-4a^2}
y2={b+2a√(b^2-4a^2+1)}/{1-4a^2}

C{2b/(1-2a),b/(1-2a)}

D{-2b/(1+2a),b/(1+2a)}

●△OAD,△OBCの面積を求めると
△OAD=|{b^2-b√(b^2-4a^2+1)}/{1-4a^2}|
△OBC=|{b^2-b√(b^2-4a^2+1)}/{1-4a^2}|
・・・△OAD=△OBC

●よって、原点を通らない直線mが双曲線と2点の交点を持つとき
原点をOとして、直線mと
・・・双曲線[x^2/4-y^2=1]との交点をA,B
・・・双曲線の漸近線[y=x/2,y=-x/2]との交点をC,D
とするとき
・・・△OAD=△OBCがmによらず成立する

【図について】
両側と交わる場合です。
片側と交わる場合も成り立ちます。
緑は交わるときの(a,b)の存在範囲です。(Pは図の場合の位置a=3/5,b=1/2です)
※交わらないときは両方とも無しで、等しい?

参考です
(直接面積を求めた場合の概略です)

双曲線:x^2/4-y^2=1
直線:y=ax+b として...

質問した人からのコメント

2009/7/29 19:52:51

詳しい解答ありがとうございます。理解できました。

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