この二次関数の頂点のx座標について、aが何の時に最小値が何になるかという問題なのですが、 上に凸のグラフなので最小値はなしという事では無いんですか?? 解法を教えて頂きたいです。

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上に凸の場合、定義域(xのとりうる範囲)の指定がない限り、最小値はありません。なので、ほぼ質問主様の言う通りだと思います。