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命題論理(propositional logic)に関する質問です。

ling80cさん

2009/10/2415:55:30

命題論理(propositional logic)に関する質問です。

命題P,Qがあるとき、①Pが真Qも真②Pが真Qは偽③Pが偽Qは真④Pが偽Qも偽の4パターンがありますよね。
「P and Q」という文では①真②偽③偽④偽になり、
「P or Q」という文では①真②真③真④偽になり、
「If P then」という文では①真②偽③真④真になるそうです。

ここで質問なのですが、
「P unless Q」という文では①②③④はそれぞれ真と偽のどちらになるのでしょうか?
また、「If P then Q」という文において何故①②③④の結果になるのでしょう?

unlessはif...notに近いものだと思います。
だから「If...not Q, then P」の方がいいかもしれません。

よろしくお願いします。

補足http://en.wikipedia.org/wiki/Truth_table(英語です)で、
andはLogical Conjunction、orはLogical Disjunction、If...thenはLogical Implicationにあたります。
このwikiページの中でunlessにあたるものはあるでしょうか?
ややこしくてすみません。

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ベストアンサーに選ばれた回答

tozima_moaiさん

2009/10/2614:41:29

まずは、「If P then Q」の真理値表について。
命題論理の範囲だけで、この真理値表になることを納得してもらうのは、
少し難しいことだと思います。
こういうものだと思ってください。
こうやって定義すると、色々と便利なのです。

多分、疑問に思うのはP が偽の場合(つまり3と4)についてでしょう。
実はここに関しては議論が(過去に)あって、
真偽値なしや特殊な値(不定など)と考える人もいました。
ですから、真偽値なしや不定と考えることは、
それほど不自然なことではないと言えます。

しかし、真と偽以外の値を考えることは面倒のもとですし、
いろいろな利便性を考えた結果、3と4は真と決まっていると思えば良いです。
どういった利便性を考えているかは、
述語論理(の全称・∀)を考えると分かり易いです。
(ちなみに、a^0 = 1 と考えることと、大変似ています)

この辺りのことについては、
wikipedai の「論理包含」の項目に少し書いてあります。


次に「P unless Q」の意味についてです。
これは「P if (not Q)」と同じ意味で、
加えて言うならば「P or Q」と真理値表は同じです。
(ですから、Wikipedia の項目にもないのでしょう)

真理値表としては同じですが、多少ニュアンスが異なります。
「P or Q」と書いた場合には、
どっちが成り立っている場合も同等に扱っている感じがしますが、
「P unless Q」と言われると、
「Q が成り立ってなくて、P が成り立っている」というケースに注目している感じがします。

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ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

hato_37さん

編集あり2009/10/2416:51:01

問題の意味が分かりにくいですね。
「『If P then Q』という文では①真」とお書きになっていますが,これはどういう意味でしょう?

もし,これが
「『If P then Q』ならば①は真である」という意味なら,これは間違いです。
(反例)
命題Pを「1+1=3」,命題Qを「3*0=0」として考えると,
「If P then Q」は成立します。偽の命題からは何でも導けますし,そもそもQは何処からでも導ける普遍の真理です。
しかし,①つまり「P and Q」は成立しません。
よって,この命題「『If P then Q』ならば①は真である」は,偽です。


それとも,
「『If P then Q』ならば①を満たす真理集合が存在する」という意味でしょうか?
であれば,これは正しいです。

(証明)
命題Pを「1+1=2」,命題Qを「3*0=0」として考えると,
「If P then Q」は成立しますし,①つまり「P and Q」も成立します。
よって,命題「『If P then Q』ならば①を満たす真理集合が存在する」は真です。

同様に,質問者様のおっしゃる「③真④真」も,適当に例を出せば簡単に示せます。

しかし,②は偽となります。
(証明)
「If P then Q」の下で,Pが真だとすると,仮定よりQは真になります。
よって,②を満たす真理集合は存在しません。


さて,後半。
「P unless Q」とは,「if notQ then P」と同値です。
対偶をとれば,これは「if notP then Q」とも同値です。

あとは上と同様の考えでいけるでしょう。
答は,質問者様流に書けば「①真②真③真④偽」となると思います。

(全く見当違いのこと書いてたらどうしよう……。)

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