英語で曜日と月名の覚え方ってありますか？

小学生中学生くらいなら、歌で覚えるのがオススメです。

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まず言えるようになってから、spellingを覚えるほうが楽だと思いますよ。

英語での月の名前をこれから覚えるということは中学生の方でしょうか。
だとしたら「一定の数の基礎単語はとにかくがんばって覚えるしかない」んです。
ある程度の基礎が身に付いたあとになると、すでに知っている単語の知識を利用して新しい単語を覚えやすくする方法は沢山あるんですが、それ以前の基礎段階ではすべてが「新しい知識」になってしまいますから、これといった有効な手段はありません。

月の名前で-berで終わっている９，１０，１１，１２月のことを俗に「- ber month」と呼び、これらは単語の中に数字を表す部品を含んでいますが、それを今覚えてもかえって負担が増すだけになるでしょう。

機械的に暗記するのは確かに負担が大きくてつらいですが、
１、まず自分の誕生月を先に覚える。自分個人に関することだから今後使うことも多いですし、「自分のこと」として記憶しやすいものです。
２、次に家族など身近な人たちの誕生月を覚えます。あるいは彼女、彼氏など親近感を強く感じる人たちでその誕生月を自然に覚えている人の月を覚えます。
３、こうしていくつかの月を順序関係なしにとりあえず記憶してから、その他の月を書きながら覚えていきましょう。たかが１２個しかないんですから、１日がんばれば大丈夫。それ以降はカレンダーでも月の名前が英語で書かれているものを身近な場所に掲示するなど、頻繁に復習・確認できる環境を作ります。

曜日にしても月の名前にしても、単なる慣れです。
新しい外国語を習うとき、最初はこれらと数字の読み方が必ずネックになります。逆に言えばこれをまず克服してしまうとずいぶん楽になります。

日本でも昔は睦月、如月、弥生、卯月、、とそれぞれの月に名前がついており、これだってそのまま覚えるほか方法がないわけなんですね。

暗記はつらいですが、たとえば
1, J_______
2, F_______
3, M______
4, A______
5, M______
6, J______
7, J______
8, A______
9, S______ber
10, O____ber
11, N_____ber
12. D______ber
と一部のヒントを書いたものを容易し、まずこれで覚えてから、ヒント無しでも覚えるなど段階を踏まえて練習するのも１つの手です。