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3σとは何ですか?

seed_basketさん

2009/12/1611:42:29

3σとは何ですか?

仕事で+3σのグラフを作れと言われました。
しかし、3σの意味や考え方など、分かりません。
どのような意味ですか?

また、バラつきと正規分布がどのようなものかということも分かりません。
バラつきと正規分布についても教えてください。

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ベストアンサーに選ばれた回答

kzk4465さん

2009/12/1612:10:10

まず、確率分布というのを考えます。
例えば、工場で長さ10cmの棒を作るとしましょう。
しかし機械には誤差があり、10cmから±何mmかずれることがあります。
このずれは「正規分布」というものに従うことが分かっています。

正規分布とは、平均を中心とした左右対称の山型のグラフで表される分布の事です。
つまり、平均値周辺の確率が高く、平均から離れたものが生じる確率が低いことを表しています。
先の例でいえば、10cm付近のものが出来る可能性が最も高く、10cmから大きく離れたものが出来る可能性は低いということです。

平均からどれぐらいばらつきがあるかを示す値は「分散」や「標準偏差」があります。
分散は、各値の平均値との差を2乗したものの平均で、標準偏差は分散の正の平方根を取った値です。
例えば、先の例で出来た製品5つの長さが
9.9、10.1、9.7、9.8、10.5
だったとします。
平均値は10なので、分散は
{(10-9.9)^2+(10-10.1)^2+(10-9.7)^2+(10-9.8)^2+(10-10.5)^2}/5
=0.08
と求められます。
標準偏差はこの平方根なので、
√0.08≒0.28
です。

この標準偏差を一般的に「σ」と書きます。
標準偏差が大きいほどばらつきが大きく、平均周辺への集まりが悪くて平均から離れた値が多く出ていると考えられます

さて、分布が正規分布と分かっている時、σは分かりやすい指標になります。
平均値±σに入る値が出る確率は約69%、±2σに入る確率は約96%、±3σに入る確率は約99.7%です。
とくに3σ以上ずれる確率は0.3%以下と、殆ど起こらないため、全体の内のほとんどは3σ内に入ると考えられます。
よって、3σは指標として良く使われます。

先ほどの例でいえば、σ=0.28より、
10±0.28cm以内の製品が全体の69%、
10±0.56cm以内の製品が全体の96%
10±0.84cm以内の製品が全体の99.6%
と言うことが出来ます(本当はたった5個の製品の標本分布なのでここからずれるが、考え方は正しい)。

正規分布グラフはWIKIペディアで正規分布と入力すれば見られます。見れば直感的に理解しやすいと思いますよ。

質問した人からのコメント

2009/12/20 12:20:17

降参 長文の回答ありがとうございます。

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