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連続写像についての質問です。

知恵袋撒散さん

2009/12/1818:02:50

連続写像についての質問です。

(X,dx)を離散距離空間、(Y,dy)を任意の距離空間とする。
このとき任意の写像f:X→Yは連続写像であることを示せ
という問題で質問があります。

離散距離空間は任意の2点a,bに対して
a=bならばd(a,b)=0、a≠bならばd(a,b)=1
というものです。

ここから任意の距離空間に持ってくる写像を考えたのですが
そんなもの思いつきません。それも「任意」なので
全てを列挙しなければなりません。

距離空間は以下の4つの公理が成立する。
1.空間内の任意の2点p,qの距離をd(p,q)としたときd(p,q)≧0、
2.d(p,q)=0⇔p=q
3.d(p,q)=d(q,p)
4.空間内の任意の3点p,q,rに対してd(p,r)≦d(p,q)+d(q,r)

これらを全て満たす距離空間に離散距離空間をどのような
写像を持ってきて変換させるか皆目見当もつきません。
ただ公理2に注目するとp=qのときf=1x(恒等写像)でよいと考えました。

連続写像を示すには離散距離空間Xの任意の点aに対して、
∀ε>0、∃δ>0をとる。x∈Xにかつdx(x,a)<δならば
dy(f(x), f(a))<εを示せばよいのですが、
そのfが全くもって検討つきません。

どのようにアプローチすればよいのでしょうか?
どなたか教えてください。お願いします。

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はらみたさん

2009/12/1822:28:40

■1■
まず、離散距離空間のイメージはつかめていますか?
すべての点が孤立している空間です。たとえば、自然数全体の集合のような感じ。(距離がちょっと違いますが、本質的に同じことです)
実数全体の集合Rだと、ある実数a 以外の数からなる数列でa に収束するものがありますよね。
たとえば a+1/2, a+1/3, a+1/4, ...。aのいくらでも近いところに別の数があります。このような距離空間は離散的ではありません。

これに対し、自然数全体の集合Nは様子が違います。
a を自然数とします。a 以外の自然数からなる数列 a1, a2, a3, ... が a に収束することってあるでしょうか?
たとえば3 に収束する(3以外の)自然数の数列が考えられますか?
無理ですよね。これが離散距離空間です。

イメージが把握できていないと証明はむりです。
いろいろな離散距離空間の具体例を考えてみてください。

■2■
答えのヒントを出しましょう。
x1, x2について、d(x1, x2) < 1/2 のとき d( f(x1), f(x2)) はどうなりますか?
数学の証明では特に断らない限り x1 = x2 の場合も許すことに注意。

■3■
これ以上はあなたの宿題ですからがんばってください。

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ベストアンサー以外の回答

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tom********さん

編集あり2009/12/2022:53:33

もっと簡単な方針としては、「fによる開集合の引き戻しはまた開集合である」ことと仰る意味での連続性が同値であることをまず示します。
あとは離散距離空間にどういう位相が入るか考えれば…、頑張ってください。

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