＞任意のx=λ1x1＋λ2x2＋・・・λnxn で表せる。 は正確には， 任意のx∈Vは x=λ1・x1＋λ2・x2＋・・・λn・xn の形で表せる と書くべきですね．でも方向性は間違っていませんよ． x1,x2,x3…xn は線形独立であることを背理法で示すため， 仮にx1,x2,x3…xn が線形従属であると仮定します． すると，あるa1, a2, ..., anがあって， a1・x1 +・・・+ an・xn = 0 ただし，a1, ..., an の中で少なくとも一つは0でない が成り立ちます． a1, ..., an の中で少なくとも一つは0でないので，このなかでakが0でないとします． すると，a1・x1 +・・・+ an・xn = 0 から ak・xk = (-a1)・x1 +・・・+ (-a(k-1))・x(k-1) + (-a(k+1))・x(k+1) +・・・+ (-an)・xn なので，両辺に 1/ak をかけて xk = (-a1/ak)・x1 +・・・+ (-a(k-1)/ak)・x(k-1) + (-a(k+1)/ak)・x(k+1) +・・・+ (-an/ak)・xn ・・・・(*) となります． つまり xk は x1,..., x(k-1), x(k+1),..., xn の線型結合で表すことができました． さて，あなたが書いたように任意のx∈Vは x = λ1・x1 +・・・+ λk・xk +・・・+ λn・xn の形で表すことができます． さらに，xkは他のxiたちの線型結合で表すことができる(*)のだから 結局，xは x = α1・x1 +・・・+ α(k-1)・x(k-1) + α(k+1)・x(k+1) +・・・+ αn・xn の形で表すことができます（αi = λi - λk・ai/ak）． したがって { x1,..., x(k-1), x(k+1),..., xn } はVの生成系であるということに なりますが，これは問題の仮定に反します． よって，x1,x2,x3…xn が線形従属であるとした仮定が誤りであったので， x1,x2,x3…xn は線形独立であるということになります．