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エネルギー保存の法則

jyo********さん

2010/2/319:48:52

エネルギー保存の法則

運動している物体のエネルギーって
E=1/2mv^2
ですよね。

速度は、相対速度なので同じ運動をしていても観測者によってエネルギーって異なりませんか?

これって、エネルギー保存の法則は、一つの慣性系の内部のみで働くという事ですか?

二つの慣性系同士でエネルギーの入れ替えを行った時(そんな事出来るかどうかわかりませんが・・・)エネルギー保存の法則が成り立たなくなったりしませんか?

変なこと言ってる気がしますが、返答お願いいたします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

sdy********さん

編集あり2010/2/420:29:56

jyori112さんが気付かれたのは、(非相対論的な)古典力学では強調されることは少ないですが、実は大事なポイントです。おっしゃる通りで、エネルギーの値は慣性系によって異なります。そして、既に他の方も回答されていますが、各慣性系でそれぞれエネルギーの保存則が成立します。

以下少し雑ですが、ある慣性系でエネルギーが保存していると仮定して、新しい慣性系にうつったときどうなるか、考えてみましょう。N個の質点があったとします。その速度をv_i、 質量をm_i (i=1,...,N)としましょう。すると運動エネルギーは、(1/2) m_i v_i^2の和になります。このとき、別の慣性系にうつると、そこでは質点の速度はv_i + Vになります。ここでVは今考えている二つの慣性系の間の相対速度です。すると、新しい慣性系での運動エネルギーは

(1/2) m_i (v_i+V)^2 = (1/2) m_i v_i^2 + m_i v_i V + m_i V^2

の(iについての)和になります。右辺第三項(の和)は、質量と相対速度のみで書けていますから当然時間に依存しません。右辺第一項の和は元々の慣性系での運動エネルギーです。これがポテンシャルエネルギーまで入れれば保存するとしましょう。そして、面白いことに、右辺第二項の和は元々の系での全運動量に相対速度をかけたものになっています。

これで分ることは何かというと、元々の系でエネルギーと運動量の両方が保存するならば、新しい慣性系でのエネルギーの保存則が自動的に成り立つという事です。(上の議論ではポテンシャルエネルギー、あるいは質点の間の力、が違う慣性系からみても変わらない事を使いました。これは非相対論的なガリレイ変換では正しいですが、相対論的には不正確です。)

この様にエネルギーと運動量は違う慣性系からみると「混ざり合う」、互いに深く関係している保存量です。上では非相対論的なガリレイ変換を使いましたが、(特殊)相対論ではこのエネルギーと運動量の関係が更に明快に理解されます。有名なアインシュタインのE=mc^2の式はそこから導出されます。より詳しく知りたければ、特殊相対論についてきちんと書いてある本(沢山ありますが、例えばファインマン物理学の最初の巻の関連する章)を読んでみて下さい。

最初の回答にあった間違いを修正しました。

質問した人からのコメント

2010/2/4 23:05:42

たくさんの解答ありがとうございました。

数式まで丁寧に出していただいてありがとうございます。

本もよんで見ようと思います。

ベストアンサー以外の回答

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txr********さん

2010/2/418:48:11

>速度は、相対速度なので同じ運動をしていても観測者によってエネルギーって異なりませんか?
その通りです。これは速度だけでなく、位置エネルギーについても、熱エネルギーに関しても同じことが言えます。

>二つの慣性系同士でエネルギーの入れ替えを行った時(そんな事出来るかどうかわかりませんが・・・)エネルギー保存の法則が成り立たなくなったりしませんか?
違う系というのがちょっとわかりませんが、エネルギーを交換したり変換したりできるのなら保存則が崩れることは基本的にありません。

「保存」という意味をそのまま「物体がもっているはずのエネルギー」と捉えてしまうとわかりづらいと思います。相互に交換できるエネルギーと考えた方がいいです。
天体の場合、お互い回転していますから、相対速度はころころ変わってしまいますが、離れた天体同士でこの運動エネルギーをやりとるする事はできません。ですからお互いどんな速度であっても全く関係ないことになります。
いわば足し算、引き算で収支が合えば「エネルギーが保存された」という事になります。
お金で考えて見ましょう。
あなたが100円を他の人に与えました。当然あなたは100円失い、もらった人は100円増えます。このとき100円が保存されたことになります。100円あげたはずなのに、相手が80円しか受け取らなかったり、120円になってしまう場合が「保存されなかった」場合です。そして、このとき、あなたの資産が1000円だろうと100万円だろうとこのやりとりには全く関係ありません。それは相手も同じで、相手の資産にも関係ありません。関係ない資産が変動してもやりとりした100円の価値は変わらないのです。

sio********さん

編集あり2010/2/321:01:06

エネルギー保存の法則/jyori112さんの質問番号1436211539への回答

>速度は、相対速度なので同じ運動をしていても観測者によってエネルギーって異なりませんか?
はい、ある1つの物体の運動エネルギーは、慣性系によって異なります。

>これって、エネルギー保存の法則は、一つの慣性系の内部のみで働くという事ですか?
その通りです。力学的エネルギーの保存を考えるときに、途中で慣性系を変更してはいけません。

>二つの慣性系同士でエネルギーの入れ替えを行った時、エネルギー保存の法則が成り立たなくなったりしませんか?
心配ありません。
なぜなら、異なる慣性系では「運動エネルギー」が異なるが、「仕事」も異なるので、エネルギーの収支がちゃんと合うからです。

(例1)摩擦のある水平な床の上で物体を床に対して相対速度Vで滑らせる場合。
床に固定した観測者から見ると:「摩擦力が物体に負の仕事をして、物体が止まる」と観測される。
床に対して相対速度Vで動く観測者から見ると:「動いている床からの摩擦力が物体に正の仕事をして、静止していた物体が動き出す」と観測される。

(例2)慣性系Pにおいて、東向きに3m/sで進む質量1kgのボールAが、静止している質量2kgのボールBに完全弾性衝突した。衝突後の速度は、運動量保存則により Aは西向き1m/s, Bは東向き2m/sとなる。
衝突前後の運動エネルギーは、(1/2)1kg×(3m/s)^2 = (1/2)1kg×(1m/s)^2 + (1/2)2kg×(2m/s)^2 なので保存されている。

これを、Pに対して東向きに1m/s で進む慣性系Qから観測する。問題は次のように変わる。
慣性系Qにおいて、東向きに2m/sで進む質量1kgのボールAが、西向きに1m/sで進む質量2kgのボールBと完全弾性衝突した。衝突後の速度は、運動量保存則により Aは西向き2m/s, Bは東向き1m/s となる。
衝突前後の運動エネルギーは、(1/2)1kg×(2m/s)^2 + (1/2)2kg×(1m/s)^2 = (1/2)1kg×(2m/s) + (1/2)2kg×(1m/s)^2 となって、Q系でもやはり保存されている。

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nij********さん

2010/2/319:58:05

(1/2)*m*v^2+m*g*h



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