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チェバの定理(の逆)を用いて、三角形の内心、重心、垂心、外心のそれぞれが存在...

kaz********さん

2010/2/321:13:00

チェバの定理(の逆)を用いて、三角形の内心、重心、垂心、外心のそれぞれが存在することの証明

チェバの定理(の逆)を用いて、三角形の内心、重心、垂心、外心のそれぞれが存在することを証明して欲しいのですが、どうやったらいいのでしょうか。

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(ア)
△ABCの3辺BC,CA,ABの中点それぞれP,Q,Rとしますね。(^^♪

BP/PC・CQ/QA・AR/RB

=1/1・1/1・1/1=1

チェバの定理の逆により、3直線AP,BQ,CRは1点で交わります。

(イ)
△ABCの3点A,B,Cから、対辺BC,CA,ABへ下ろした垂線の足を

それぞれP,Q,Rとします。

底辺の長さ=斜辺の長さ×余弦
BP=ccosB,PC=bcosC

CQ=acosC,QA=ccosA

AR=bcosA,PB=acosB

よって、
BP/PC・CQ/QA・AR/RB

=ccosB/bcosC・acosC/ccosA・bcosA/acosB=1

よって。
チェバの定理の逆により、3直線AP,BQ,CRは1点で交わります。

(ウ)
△ABCの3角A,B,Cの2等分線と対辺BC,CA,ABとの交点を

それぞれP,Q,Rとします。

三角形の内角の2等分線の性質より、

BP:PC=c:b,CQ:QA=a:c,AR:RB=b:a

よって、
BP/PC・CQ/QA・AR/RB

=c/b・a/c・b/a=1

チェバの定理の逆により、3直線AP,BQ,CRは1点で交わります。

(エ)
△ABCの3辺BC,CA,ABの中点を、

それぞれP,Q,Rとし、さらに、

その3辺と、線分QR,RP,PQの交点をそれぞれX,Y,Zとします。

中点連結定理を用いれば、

△ABC∽△ARQ
辺BCの垂直2等分線は、辺QRの2等分線になります。。

すなわち、点Xは、線分QRの中点になります。

同様にして。点Yは、線分RPの中点になります。

点Zは、線分PQの中点になります。

3線分PX,QY,RZは、△PQRの中線になり、その交点は、重心になります。

(ア)より、3直線AP,BQ,CRは1点で交わります。

重心を用いないで、

直接に垂直2等分線が1点で交わる解法が思いつきません。m(__)m

回答日時: 2010/2/4 18:53:10

編集日時: 2010/2/5 21:07:00

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