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三角形の性質(余弦定理・正弦定理・ヘロンの公式)

hap********さん

2010/2/1200:09:41

三角形の性質(余弦定理・正弦定理・ヘロンの公式)

高校1年女です。

学校の問題集に載っている問題が解けません。
解説おねがいします。


△ABCで次の関係がが成り立つとき、この三角形はどんな形か。

(1) tan^2A:tan^2B=a^2:b^2
(2)b^2sin^2C+c^2sin^2B=2bc cosB cosC

よければ
詳しく解説お願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

2010/2/1200:55:03

こんばんは。

以下のようになります。

△ABCにおいて、以下の関係が成り立つ時、
△ABCの形状はどのようになるか?

(1)(tanA)²:(tanB)²=a²:b²
a²・(tanB)²=b²・(tanA)²
a²・{(sinB)²/(cosB)²}=b²・{(sinA)²/(cosA)²}
a²・(sinB)²・(cosA)²=b²・(sinA)²・(cosB)²
a²・(sinB)²・{1-(sinA)²}=b²・(sinA)²・{1-(sinB)²}
(”(sinA)²+(cosA)²=1”より。)

△ABCの外接円の半径をRとします。
”sinA=a/2R”、”sinB=b/2R”を代入します。
a²・(b/2R)²・{1-(a/2R)²}
=b²・(a/2R)²・{1-(b/2R)²}
”(ab/2R)²≠0”より、両辺をこれで割ります。
1-(a/2R)²=1-(b/2R)²、(a/2R)²=(b/2R)²
よって、4R²・(a²-b²)=4R²・(a-b)・(a+b)=0
”a+b>0”、”R≠0”より、”a=b”
よって、”BC=CA”である二等辺三角形になります。

(2)b²・(sinC)²+c²・(sinB)²=2・(b・cosC)・(c・cosB)
b²・{1-(cosC)²}+c²・{1-(cosB)²}
=2・(b・cosC)・(c・cosB)
b²+c²
=(b・cosC)²+(c・cosB)²+2・(b・cosC)・(c・cosB)
={(b・cosC)+(c・cosB)}²

ここで、”もう一つの余弦定理”を用います。
”b・cosC+c・cosB=a”が成り立っています。
よって、b²+c²={(b・cosC)+(c・cosB)}²=a²
よって、”辺BC”が斜辺である直角三角形になります。

如何でしょうか?

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all********さん

編集あり2010/2/1210:42:03

【使用する主な定理など】
○正弦定理:a/sinA=b/sinB
○sin²A+sin²A=1
○tanA=sinA/cosA
○第一余弦定理:a=c・cosB+b・cosC
*********************************
(1) 条件から
.....a²・tan²B=b²・(tan²A)
.....a²・sin²B/cos²B=b²・sin²A/cos²A
.....a²・sin²Bcos²A=b²・sin²Acos²B
.....a²・sin²B(1-sin²A)=b²・sin²A(1-sin²B)
..正弦定理:a/sinA=b/sinBからa・sinB=b・sinA
.....1-sin²A=1-b²/a²sin²A
∴ 1-sin²A=1-b²/a²sin²A
∴ -b²/a²=1
∴ a=b(>0)

よって、BC=CAの二等辺三角形である。

(2)条件から
.....b²sin²C+c²sin²B=2bc・cosBcosC
.....b²(1-cos²C)+c²(1-cos²B)=2bc・cosBcosC
.....b²-b²cos²C+c²-c²cos²B=2bc・cosBcosC
.....b²+c²=b²cos²C+2bc・cosBcosC+c²cos²B
..........=(b・cosC+c・cosB)²
ここで、右辺に第一余弦定理:a=c・cosB+b・cosCを用いると
......a²=b²+C²
よって、辺BCを斜辺とする直角三角形である。

spa********さん

2010/2/1200:55:52

(1) tan^2A:tan^2B=a^2:b^2
b^2・tan^2A=a^2・tan^2B
b^2・sin^2A/cos^2A=a^2・sin^2B/cos^2B

ここで正弦定理より
a=2RsinA
b=2RsinB
なので、これを代入する
(2RsinB)^2・sin^2A/cos^2A=(2RsinA)^2・sin^2B/cos^2B
1/cos^2A=1/cos^2B
cos^2A=cos^2B
cosA=±cosB

より
A=B
または
A=π-B

ただし、A=π-Bの時は、A+B=πになり、三角形にならない
よって、A=Bの2等辺三角形

(2)b^2sin^2C+c^2sin^2B=2bc cosB cosC

左辺を正弦定理を代入する。
sinB=b/2R
sinC=c/2R

b^2sin^2C+c^2sin^2B
=b^2(c/2R)^2+c^2(b/2R)^2
=2b^2c^2/(2R)^2
=2bc・(b/(2R))・(c/(2R))
=2bc・(sinB)・(sinC)

よって
b^2sin^2C+c^2sin^2B=2bc cosB cosC
2bc・(sinB)・(sinC)=2bc cosB cosC
2bc (cosB cosC-sinBsinC)=0
2bc cos(B+C)=0
b=0、c=0,B+C=π/2

b、cは辺なので、b≠0、c≠0
B+C=π/2より、A=π-(B+C)=π/2

よって、角Aが90度の直角三角形

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