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加法定理のcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβの 証明についてですが、解らない点があ...

ryu********さん

2010/3/1520:51:44

加法定理のcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβの

証明についてですが、解らない点があります。

図1のように、角α,βを表す動径と単位円との交点を、それぞれP,Qとする

このとき、P(cosα,sinα)、Q(cosβ,sinβ)

であるから、距離の公式により・・・・・・・・①

PQ²=(cosβ-cosα)²+(sinβ-sinα)²
=2{1-(cosαcosβ+sinαsinβ)}

一方、原点Oを中心として△OPQを-βだけ回転し、点QがA(1,0)に

重なるようにしたとき、点Pが点Rに移るとすると、Rの座標は

R(cos(α-β),sin(α-β))

である、したがって

RA²={1-cos(α-β)}²+{0-sin(α-β)}²
=2{1-cos(α-β)}

ここで、PQ=RAであるから

2{1-(cosαcosβ+sinαsinβ)}=2{1-cos(α-β)}

よって、cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ」となるのですが

①の「距離の公式」とありますが、どのような公式でしょうか?

聞いたことがありません

回答お願いします。

cosαcos,加法定理,sin,交点,公式,ピタゴラス,単元

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ベストアンサーに選ばれた回答

k_i********さん

2010/3/1521:20:12

あなたが高校生で,この加法定理を数学IIの分野で習っているのであれば,距離の公式は
「三角関数」の単元の「図形と式」の単元で習ったはずです。教科書の前の方を探してみて下さい。

xy 平面上の点 A(x,y), B(p,q) に対し,2点 A,B の間の距離は線分 AB の長さであり,その大きさは座標を用いて
√{(x-p)^2+(y-q)^2} と定義されています。
この式を(2点間の)距離の公式と呼んでいるのでしょう。

質問した人からのコメント

2010/3/16 16:58:49

成功 回答ありがとうございます! たしかに教科書に書いてありました

自分復習不足でした、これから気をつけます。

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wha********さん

2010/3/1521:18:25

「2点間の距離」でしょう。
この場合 点Pと点Qの距離。
2点の座標値が分かれば、その2点間の距離を求める公式という意味でしょう。
ピタゴラスの定理では、直角だとか対辺とか制約が付く。

(デカルト座標ならば)2点の座標値分かればすぐに距離を出せるという意味の公式でしょうね。

sed********さん

2010/3/1521:12:35

PQの長さを求める公式です。

ピタゴラスの定理から簡単に分かるはずです。

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