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高校数学の範囲での方程式と関数の認識について

sud********さん

2010/4/119:06:46

高校数学の範囲での方程式と関数の認識について

現在高校一年生ですが、方程式と関数の定義の違いが良くわかりません。
色々と質問する前に調べたのですが、結局理解できたことは、
仮にy=2Xという等式があったら高校の範囲ではこの式は一次方程式ともいえるし、一次関数ともいえるということだけです。
(2X+2=0 という式があった場合、この式はX=-1を解にもつ方程式ということはわかります。)
高校数学の範囲でより砕けた言い方で2つの定義の違いを教えていただけますか?
そしてもうひとつお聞きしたいのですが、問題を解く時に自分でよく関数f(X)とか置きますよね?
これy=f(X)の方程式を置く とかってかいてはいけないんでうしょうか?
2つ目の質問は定義をしっかり理解していればわかるのだと思いますが、もし定義が砕けた言い方で表すことができないのでしたら、2つ目の質問だけでも答えて頂ければ幸いです。

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sig********さん

2010/4/119:17:32

関数 ある値(Xとしましょう)を変えることによって、
他の値(y)も変わる式
方程式 その式を成立させるためにもつ値が特定される。

自分ではこんな感じで解釈してます。

y=2x+2 で考えると
x=1 だと y=4
x=2 だと y=6 と変わっていきますよね。
これが関数です。

y=2x+2
y=3x+4 と連立すると、
x=-2,y=-2 とただ一組の解を持ちますよね
コレが方程式です。

だから「y=f(x)の方程式を置く」って言うのは意味がわかりません。
「f(x)=0とすると・・・」なら出来ます。


グラフで考えると
関数は、線がずっとつながってる感じ
方程式は、線と線が交わって交点を持ってる感じです

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jir********さん

編集あり2010/4/120:04:53

y=f(x)という式自体は、確かに方程式です。
方程式とは、あるx、y(もしくはそのほかのモノ)の値についてのみ成り立つ、x、y(もしくはその他のもの)についての等式のことを表しているに過ぎず、「解」を求めるためにこれを使うこともあれば、「関数のグラフ」などに用いることもあります。
そう言う意味では、方程式というのはかなり広い概念ですね。

それに対して、関数というのはある一定の「働き」を示す考え方です。
本来、関数というのは「y=f(x)」と言う方程式全体を指す概念ではありません。
f(x)という働き自体を、関数と呼ぶのです。
f(x)=2x+1は一次関数、f(x)=x^2+3x+1は二次関数ですね。
それに対し、「y=f(x)」という方程式になると、これは関数f(x)を用いた点(x,y)の集合であり、
これを関数f(x)の「グラフ」といいます。本当は、それらは明確に区別しなければなりません。
ただ、あまり明確に区別しすぎると教育上混乱が起こるので、「これはグラフだよ、関数じゃないよ」などとは言わないだけの話です。
なので、「y=2x+1」と「f(x)=2x+1」という2つの表現は、同じ一次関数を表現したもので
ありながら、その本質はもともと少しずれた所にあるのです。

ただ、関数にはf(x,y)=x^2+y^2のような多変数関数もありますし、
f(x,y)=0(x^2+y^2=1など)というような「陰関数」も存在します。
関数の機能が多角化しているぶん、「関数とはこういうモノ」と言うにはなかなか厳しいものがあります。
その辺は、ご理解下さい。

2つ目の質問について。

関数 y=f(x) とは言いますが,この形の式を方程式と呼び表している高校の教科書や問題に出会ったことはないので,使わない方が無難です。
特に,x の方程式 f(x)=0 を調べるときに,関数 y=f(x) を考えることがよくあるので,f(x)=0 と y=f(x) の両方に『方程式』という呼び名を使われると,僕などは「あ,回答した人は混乱してるな」とあまりよくない印象を持ってしまいます。
そういうあらぬ誤解のもととなるかもしれないので,y=f(x) を方程式と呼ぶことはお勧めできません。

なお,現在広く流布している関数の数学的な定義は,
x に対して『ただひとつの』実数 y を定める対応規則があるとき,その規則を関数と呼ぶというものです。

この定義に従えば,(x と y の式)=0 という方程式が,各 x の値に対し,ただ一つだけ解 y を持てば,x と y を対応させる規則があると言えるので,x を y に対応させる何がしかの関数を定めていると理解できます。

ところが,x と y の関係を「ある方程式を満たす」という条件で規定する方が,関数という関係よりもかなりゆるいのです。

例えば方程式 y^2-x=0 で定まる x と y の対応関係を関数と呼べるかどうかを考えてみます。
x=4 のとき,y=±2 と2通りの値が出てきてしまいますから,「x に対して『ただひとつだけ』 y の値を対応させる」という取決めを満たしませんので,この方程式は y を x の関数としては定めていないことになります。

このように,ふたつの数 x と y を結びつける対応関係として,「関数」と「方程式」は現代では異なる概念として扱われるのが普通だと思いますから,両者は区別するのがよいと思います。

2010/4/119:17:58

☆一次方程式ともいえるし、…
それって寝言かなw 言えるわけないじゃん。
単にy=2x ①と書いてあったら1次「関数」ではあるけれども、1次「方程式」では決してない。
ただし「①をxについて解け」とかいう問題だと、方程式と同様のやり方で解ける。

kzk********さん

2010/4/119:11:46

方程式とは、変数を含んだ等式を言います。
関数とは、一つの変数に対して一つの値が決まる式を言います。

y=2xというのは、変数xに対してyが一つ決まる等式なので関数です。
f(x)というのは関数を表す書き方で、xに対してf(x)が決まります。

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