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質量mの2個のおもりがばね定数kの3本のばねに繋がれ、ばねの両端は固定されている...

mik********さん

2010/4/1105:23:07

質量mの2個のおもりがばね定数kの3本のばねに繋がれ、ばねの両端は固定されている。おもりに沿った方向のみ運動するものとし、おもり1、2の平衡 点からの変位をx_1、x_2とする。
この装置が温度Tの熱平衡にあるとき、おもりの平衡点からの変位の2乗平均x_1^2、x_2^2、および積の平均x_1x_2を求めよ。(本当は求めるもの全部の上に平均の意味でバーがついてます。)

等分配の法則を用いるようなのですが。いまいち分かりません。
答は順に

2k_BT/3k、2k_BT/3k、k_BT/3

(k_B、ボルツマン定数)
です。解説お願いします

補足回答ありがとうございます。
平均位置で運動エネルギーと位置エネルギーが等しいのはなんでなのですか?

おもり,ばね定数,変位,ボルツマン定数,平衡点,x1-x2,ばね

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mb1********さん

編集あり2010/4/1118:05:57

この系は2分子で、1方向のみなので、この系の運動エネルギーは 1/2*kBT*2=kBTとなります。
平均において運動エネルギーと位置エネルギーは等しくなる。ので、ばねの位置エネルギーの合計はkBT
また、すべてのばねには均等にエネルギーが伝達されるので
ばね一つ当たりで考えると
1/2*kx1^2=1/2*kx2^2=kBT/3・・・①
x1^2=x2^2=2kBT/(3k)
中央のばねの位置エネルギーは 1/2*k*(x1-x2)^2=kBT/3
1/2*kx1^2-kx1x2+1/2*kx2^2=kBT/3
①の結果を用いて
x1x2=kBT/(3k)
となります。

補足に関して
エネルギーは均等配分されます。
この場合ばねが自然長になっている時に運動エネルギーが最大であり、ばねの変位が最大になっている時に運動エネルギーが0です。このことにより両者の最大値が等しいことが分かります。両者の和が一定なので、両者の平均は等しいことが分かります。

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