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(1) 整数nに対して、2n^3-3n^2+n が6の倍数であることを示せ。 (2) nが...

sap********さん

2010/4/2701:44:47

(1)
整数nに対して、2n^3-3n^2+n が6の倍数であることを示せ。

(2)
nが奇数ならば、n^2-1 は8で割り切れることを示せ。


この2題解いていただきたいです(+_+)

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回答数:
2

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ベストアンサーに選ばれた回答

ami********さん

2010/4/2701:59:03

(1) 2n^3-3n^2+n=n(2n^2-3n+1)=n(n-1)(2n-1)
=n(n-1)(n-2)+(n+1)n(n-1)
連続した3整数の積は6の倍数なのでこれも6の倍数。
(2の倍数は1つおき、3の倍数は2つおきに現れるので、連続3整数の積は6の倍数)(証明終わり)

(2) n=2N+1(Nは整数)とすると
n^2-1=4N(N+1)
NかN+1のいずれかは偶数なのでN(N+1)は偶数なので
4N(N+1)は8の倍数(証明終わり)

質問した人からのコメント

2010/4/27 03:01:56

ありがとうございました♪

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

k_i********さん

2010/4/2701:53:28

(1)
n(2n^2-3n+1)=n(2n-1)(n-1) で,
2n-1=(n+1)+(n-2) なので,
2n^3-3n^2+n=(n-1)n(n+1)+(n-2)(n-1)n
となり,(n-1)n(n+1) と (n-2)(n-1)n はいずれも3連続整数の積だから 6 の倍数。

(2) n が奇数ならば整数 k を用いて n=2k+1 とおけて,
n^2-1=(n+1)(n-1)=(2k+2)2k=4k(k+1).
k(k+1) は連続2整数の積だから偶数。

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