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次の曲面の第1基本量、第2基本量、ガウス曲率、平均曲率を求めよという問題です。...

kya********さん

2010/7/117:43:37

次の曲面の第1基本量、第2基本量、ガウス曲率、平均曲率を求めよという問題です。どうかよろしくお願いします。

(1)柱面:S(u,v)=(x(u),y(u),v) (C(u)=(x(u),y(u)はxy平面上の曲線、uは弧長パラメータ)
(2)楕円放物面:S(u,v)=(au,bv,u^2+v^2) (a,b>0)
(3)双曲放物面:S(u,v)=(au,bv,u^2-v^2) (a,b>0)

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ベストアンサーに選ばれた回答

2010/7/414:32:28

以下、a,bの内積を<a,b>で表すことにします。また、Sをu,vで偏微分したものをそれぞれSu,Svのように下付文字で表します。(2階編微分はSuu,Suv,Svvです。)

(1)柱面:
u,v方向の接ベクトルSu=(x'(u),y'(u),0), Sv=(0,0,1), 単位法ベクトルe=(y'(u),-x'(u),0) (∵(x(u),y(u))は弧長パラメータ表示された平面曲線なのでx'(u)^2+y'(u)^2=1.)
よって第一基本量E,F,Gは
E=<Su,Su>=1, F=<Su,Sv>=0, G=<Sv,Sv>=1
また、Suu=(x''(u),y''(u),0), Suv=(0,0,0), Svv=(0,0,0)
よって第二基本量L,M,Nは
L=<Suu,e>=x''(u)y'(u)-x'(u)y''(u), M=<Suv,e>=0, N=<Svv,e>=0
ガウス曲率K=(LN-M^2)/(EG-F^2)=0, 平均曲率H=(EN-2FM+GL)/2(EG-F^2)=( x''(u)y'(u)-x'(u)y''(u) )/2

(2)楕円放物面:
u,v方向の接ベクトルSu=(a,0,2u), Sv=(0,b,2v), 単位法ベクトルe=(-2bu,-2av,ab)/√(4b^2u^2+4a^2v^2+a^2b^2)
よって第一基本量E,F,Gは
E=<Su,Su>=a^2+4u^2, F=<Su,Sv>=4uv, G=<Sv,Sv>=b^2+4v^2
また、Suu=(0,0,2), Suv=(0,0,0), Svv=(0,0,2)
よって第二基本量L,M,Nは
L=<Suu,e>=2ab/√(4b^2u^2+4a^2v^2+a^2b^2), M=<Suv,e>=0, N=<Svv,e>=2ab/√(4b^2u^2+4a^2v^2+a^2b^2)
ガウス曲率K=(LN-M^2)/(EG-F^2)=4a^2b^2/(4b^2u^2+4a^2v^2+a^2b^2), 平均曲率H=(EN-2FM+GL)/2(EG-F^2)=ab(a^2+b^2+4u^2+4v^2)/√(4b^2u^2+4a^2v^2+a^2b^2)^3

(2)楕円放物面:
u,v方向の接ベクトルSu=(a,0,2u), Sv=(0,b,-2v), 単位法ベクトルe=(-2bu,2av,ab)/√(4b^2u^2+4a^2v^2+a^2b^2)
よって第一基本量E,F,Gは
E=<Su,Su>=a^2+4u^2, F=<Su,Sv>=4uv, G=<Sv,Sv>=b^2+4v^2
また、Suu=(0,0,2), Suv=(0,0,0), Svv=(0,0,-2)
よって第二基本量L,M,Nは
L=<Suu,e>=2ab/√(4b^2u^2+4a^2v^2+a^2b^2), M=<Suv,e>=0, N=<Svv,e>=-2ab/√(4b^2u^2+4a^2v^2+a^2b^2)
ガウス曲率K=(LN-M^2)/(EG-F^2)=-4a^2b^2/(4b^2u^2+4a^2v^2+a^2b^2), 平均曲率H=(EN-2FM+GL)/2(EG-F^2)=ab(a^2-b^2+4u^2-4v^2)/√(4b^2u^2+4a^2v^2+a^2b^2)^3

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