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積率母関数g(θ)=e^(μθ+σ^2/2・θ^2)の1回微分と2回微分の解答を教え...

hir********さん

2010/7/1222:21:53

積率母関数g(θ)=e^(μθ+σ^2/2・θ^2)の1回微分と2回微分の解答を教えて下さい。お願いします。

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Amy☆さん

2010/7/1222:36:57

正規分布N(μ,σ^2)のモーメント母関数ですねo(^-^)o

一階微分すると、
g'(θ)={μ+(σ^2)*θ}*e^{μθ+(σ^2/2)θ^2}

二階微分で、
g''(θ)=(σ^2)*e^{μθ+(σ^2/2)θ^2}
..............+[{μ+(σ^2)*θ}^2]*e^{μθ+(σ^2/2)θ^2}

=[{μ+(σ^2)*θ}^2+σ^2]*e^{μθ+(σ^2/2)θ^2}

よって、

E[X]=g'(0)={μ+(σ^2)*0}*e^{μ*0+(σ^2/2)*0^2}
................=μ*1=μ............(1)

E[X^2]=g''(0)=[{μ+(σ^2)*0}^2+σ^2]*e^{μ*0+(σ^2/2)*0^2}
.....................=μ^2+σ^2.......(2)

よって、V[X]=E[X^2]-(E[X])^2=μ^2+σ^2-μ^2=σ^2...(∵(1),(2))

となって、本当に平均μ、分散σ^2であることが確認できますo(^-^)o

で、まとめますと(^0^)、モーメント母関数の1階、2階微分は、


答え
g'(θ)={μ+(σ^2)*θ}*e^{μθ+(σ^2/2)θ^2}
g''(θ)=[{μ+(σ^2)*θ}^2+σ^2]*e^{μθ+(σ^2/2)θ^2}

質問した人からのコメント

2010/7/13 11:22:41

笑う 分かりやすい解答有難うございました。よく理解できました!

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