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「3つ子素数」(偶数をはさんで3つの連続した数が全て素数)が3,5,7以外に...

doi********さん

2010/7/2522:11:50

「3つ子素数」(偶数をはさんで3つの連続した数が全て素数)が3,5,7以外に無いことはどうやって証明できるのですか??

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たろうさん

2010/7/2522:18:26

P,P+2,P+4が全て素数になる ような3より大きい素数Pがあるかどうか考えます

Pは3より大きい素数ですから, P=3n+1かP=3n-1 のどちらかで表されます
P=3n+1のとき, P+2=3n+3=3(n+1)
P=3n-1のとき, P+4=3n+3=3(n+1) ですから
どちらにしても
P,P+2,P+4の3つともが素数になることはありません

したがって
3より大きな素数に3つ子素数はないことが分かります

もちろん「2,4,6」の組は3つ子素数ではありません
なので
3つ子素数は「3,5,7」だけです

質問した人からのコメント

2010/7/31 23:40:33

みなさま詳しい解答ありがとうございました!!

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bas********さん

2010/7/2522:20:14

それ以降は奇数である3の倍数(3(2n+1))が5つ置きに出てくるからです。

dez********さん

2010/7/2522:15:33

mod.3で考える
P+4≡P+1(3)
従って、P,P+2,P+4は、mod.3で違う剰余類に属する⇒この内の1つは3の倍数
素数であるから、P=3 or P+2=3 or P+4=3
⇒可能性があるのはP=3のみ
よって、(3,5,7)以外には解はない

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