<有限体の乗法群>

<有限体の乗法群> Fをq個の元から成る、標数p(>2)の有限体とする。 F^*をFの乗法群とする。このとき (F^*)^2={ u^2 | u∈F^* }=F^*となることは"無い"ように思うのですが、 どうすれば証明できるでしょうか? それともpによっては反例がありますか?

数学184閲覧xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">100

ベストアンサー

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標数が2では(F^*)^2={ u^2 | u∈F^* }=F^*が成立します ∵a→a^2の写像を考える時、a^2=b^2⇒(a-b)^2=a^2-b^2=0⇒a=b⇒写像は単射⇒有限集合であるから(F^*)^2=F^* 標数が2ではないときには、(F^*)^2は(F^*)の指数2の部分群になります ∵(F^*)^2={a1^2,a2^2,...,an^2}とおく すると、F^*={±a1,±a2,...,±an}である 実際、(ai)^2≠(aj)^2であるから、±ai≠±aj そして、標数が2ではないので、ai≠-ai 故に|F^*|=2*n=2*|(F^*)^2|

ThanksImg質問者からのお礼コメント

dezaike999さん教えていただきありがとうございました。

お礼日時:2010/8/18 0:54