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n次導関数を求めたいんですが。 x^(n-1)logx

nan********さん

2010/10/221:37:14

n次導関数を求めたいんですが。
x^(n-1)logx

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mat********さん

2010/10/304:22:12

fのn次導関数をf〈n〉と表すことにします。

(f・g)〈n〉=Σ[k=0~n]nCk・f〈n-k〉・g〈k〉
ここで、f=x^(n-1)とすると、f〈n〉=0より、

(f・g)〈n〉=Σ[k=1~n]nCk・f〈n-k〉・g〈k〉…★

f〈n-k〉=(n-1)P(n-k)・x^(k-1)
g=logxとすると、g〈k〉=(-1)^(k-1)・(k-1)P(k-2)・x^(-k)

また、(n-1)P(n-k)・(k-1)P(k-2)=(n-1)!/(k-1)!・(k-1)!=(n-1)!
Σ[k=1~n](-1)^(k-1)・nCk=1
より、

★=(n-1)!/x

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