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数学得意な方お願いします。 1.半径1の円に内接する正十角形の面積を求めよ。

lia********さん

2010/10/500:43:57

数学得意な方お願いします。
1.半径1の円に内接する正十角形の面積を求めよ。

2.地上にいる人が、高さ200mの高層ビルの屋上に立っている高さ50mの鉄塔を見る。鉄塔の上端をA,この人をB,鉄塔の下端をCとするとき、∠ABCが最大となるのはこの人がビルから何M離れた時か。ただし、この人の身長は無視することとし、また、ビルや鉄塔の水平方向の大きさも無視する。(考え方を詳しくお願いします。)

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fri********さん

編集あり2010/10/505:14:49

1.
10角形を10等分した三角形の面積は、
底辺が1、高さが1×sin36、なので、(1/2)sin36
これを10倍して、5sin36≒2.939

2.
C直下の地面をDと、BDの距離をLとすると、

∠ABC=arccot(L/250)-arccot(L/200)
この式をLで微分して0とおけば、∠ABCが最大値になるLが求まります。

d(∠ABC)/dL
=-1/(250(1+(L/250)^2))+1/(200(1+(L/200)^2))
=200/(200^2+L^2)-250/(250^2+L^2)
=(200(250^2+L^2)-250(200^2+L^2))/(200^2+L^2)(250^2+L^2)

4(250^2+L^2)-5(200^2+L^2)=0
250000+4L^2-200000-5L^2=0
50000=L^2
L=100√5≒223.6m

補足
(arccot(X))'=-1/(1+X^2)

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mie********さん

2010/10/507:11:11

1番だけやってみます。

正十角形の中心と各頂点を結び十個の二等辺三角形に分割して考えると各二等辺三角形の頂角は36°です。
したがってその面積は

1×1×sin(36°)÷2=sin(36°)/2

正十角形の面積はその十倍だから

10×sin(36°)/2=5sin(36°)

sin36°=(1/4)√(10-2√5) なので

5sin(36°)=(5/4)√(10-2√5)
この二重根号は外れません。


sin36°の求め方は下記参照

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1039197070


sin36°は数Ⅰレベルで図形的に求めることも可能です。

1番だけやってみます。...

tur********さん

2010/10/504:51:56

1.正十角形を10等分した2等辺三角形の底辺は2sin18°
高さはcos18°
面積は1/2×2sin18°cos18°=0.2939
10倍して
正十角形の面積=2.939

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