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フーリエ級数について (1) Σ[n=1~∞] sin(2n-1)x/(2n-1) ={-π/4 (-π<x<0), π...

pxx********さん

2010/10/1507:37:08

フーリエ級数について

(1)
Σ[n=1~∞] sin(2n-1)x/(2n-1)
={-π/4 (-π<x<0), π/4 (0<x<π)


(2)
(π^2)/6 - Σ[n=1~∞] cos2nx/n^2
=x(π-x) (0≦x≦π)

等 式を導く問題です。
わかりません。よろしくお願いします

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Amy☆さん

2010/10/1600:31:08

はーいo(^-^)o

(1) (証明) 右辺は奇関数なので、フーリエサイン級数で表せますo(^-^)o
b[k]=(1/π)*2*∫[0→π].(π/4)*sin(kx)dx
.......=(1/2)*[-cos(kx)/k](0→π)
.......={1-(-1)^k}/2k

これはkが偶数のときは0の値をとり、
kが奇数のときには、1/kの値をとりますo(^-^)o
よって、k=2n-1とおいて、

(右辺)=∑[n=1~∞] b[2n-1]*sin(2n-1)x
..........=∑[n=1~∞] sin((2n-1)x)/(2n-1)=(左辺).......(証明終わり)

**************************************************
(2) (証明) 右辺は範囲が0≦x≦πと正の部分だけになっており、また
左辺はフーリエコサイン級数のかたちなので、偶関数拡張しますo(^-^)o
すなわち、

.f(x)=x(π-x).......(0≦x≦π)
.......=-x(π+x).....(-π≦x≦0).......←(偶関数拡張した仮想上の部分(^^;)

a[0]=(1/π)*2*∫[0→π]x(π-x)dx
.......=(2/π)*[(π/2)x^2-(1/3)x^3](0→π)
.......=(2/π)*{(π^3)/6}
.......=(π^2)/3

a[k]=(1/π)*2*∫[0→π]x(π-x)cos(kx)dx

.......=(2/π)*[.[x(π-x)*{sin(kx)/k}](0→π)
........................................-∫[0→π](π-2x)*{sin(kx)/k}dx.]

.......=(2/πk)*∫[0→π](π-2x)*{-sin(kx)}dx

.......=(2/πk)*{[(π-2x)*{cos(kx)/k}](0→π)
..............................................-∫[0→π](-2)*{cos(kx)/k}dx}

.......=(2/πk)*{(-π)*{(-1)^k/k}-π*(1/k)+(2/k)*∫[0→π]sin(kx)dx}

.......=(2/πk)*{(-π/k)*{(-1)^k+1}+(2/k)*0}

.......=-2{(-1)^k+1}/(k^2)

これはkが奇数のときは0の値をとり、
偶数のときには、-4/(k^2)の値をとりますo(^-^)o
そこで、k=2nとおくと、

a[2n]=-1/(n^2)

よって、
(右辺)=(a[0]/2)+∑[n=1~∞]a[2n]cos(2nx)
.......=(π^2)/6-∑[n=1~∞].{cos(2nx)/n^2}=(左辺).......(証明終わり)

でしたo(^-^)o

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ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

aki********さん

2010/10/1515:05:14

(1)を計算します。
f(x)=-π/4 (-π<x<0), π/4 (0<x<π)とする。
f(x)は奇関数なので、cosnxの係数は0となる。
sinnxの係数をb_nとおくと、cosnπ=(-1)^nだから、
b_n=1/π∫(-π~π)f(x)sinnxdx
=-1/4∫(-π~0)sinnxdx +1/4∫(0~π)sinnxdx
=-π/4[-cosnx/n](-π~0)+1/4[-cosnxdx](0~π)
=-1/4[(-1/n)-{-(-1)^n/n}]+1/4[-(-1)^n/n-(-1/n)]
=1/2[{1-(-1)^n}/n]
よって、
b_n=0 (n:偶数)、1/n (n:奇数)である。
したがって、
f(x)=Σ[n=1~∞]sin(2n-1)x(2n-1).
(2)は偶関数なのでcosnx係数を求めればOKです。

書き方が汚い所が多々あるのはご了承下さい。
分からない所があったり、(2)について聞きたいところがあったら
補足で聞いて下さい><

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