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根基r(a)が極大イデアルならばaは準素イデアルである。特に、極大イデアルmの...

muk********さん

2010/11/1119:14:46

根基r(a)が極大イデアルならばaは準素イデアルである。特に、極大イデアルmのベキはm-準素イデアルである。

これを証明したいのですが、教科書に
(証明)
r(a)=mとおく。mのA/aへの像はA/aのベキ零元根基であるから
命題「可換環Aのベキ零元根基はAのすべての素イデアルの共通集合である。」よりA/aは唯一の素イデアルをもつ。

と、書かれていたのですが、よくわからないので教えて下さい。

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ベストアンサーに選ばれた回答

gan********さん

編集あり2010/11/1209:07:03

mのA/aへの像をm~と表します。またx∈AのA/aへの像をx~と
表します。
x^n ∈a ⇔ (x~)^n = 0
となるので、m = r(a)に対し、m~はA/aのべき零根基となります。

任意のp∈Spec(A/a)( A/aの素イデアル全体集合)に対し、「命題」より
m~ = ∩_[q∈Spec(A/a)] q ⊆ p
となりますが、m~がA/aの極大イデアルであることから、
p = m~となり、m~がA/aの唯一の素イデアルとなります。

質問した人からのコメント

2010/11/12 13:49:53

ありがとうございます。

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