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次の例をわかりやすく説明して下さい。 お願いします。 素イデアルのベキp^n...

muk********さん

2010/11/1819:42:29

次の例をわかりやすく説明して下さい。
お願いします。

素イデアルのベキp^nの根基イデアルは素イデアルpになるにもかかわらず、 必ずしもp^nは準素イデアルになるとは限らない。

例えば、A=k[x,y,z]/(xyーz^2)とし、x'、y'、z'をそれぞれAにおけるx,y,zの像を表すものとする。
このとき、p=(x'、z')は素イデアルである(A/p≡k[y]で、これは整域であるから)。
このとき、x'y'=z'^2∈p^2であるが、x'∈p^2ではなく、かつy'∈r(p^2)=pではないとなる。
ゆえに、p^2は準素イデアルではない。

≡は同型のことです。

代数の準素イデアルのところです。
よろしくお願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

gan********さん

編集あり2010/11/2009:53:25

・「A/p≡k[y]」について。

k[x,y,z]のイデアル(x,y)について、(xy - z^2)⊆(x,z)
で(x,z)のAでの像がpなので、A/p ≡ k[x,y,z]/(x,z)≡k[y]。

・「x'∈p^2ではなく、かつy'∈r(p^2)=pではない」について。

p^2 = (x'^2,x'z',z'^2)なので、
x'∈p^2
⇔x' = f'x'^2+g'x'z'+h'z'^2となるようなf',g',h'∈Aが存在。
⇔x = fx^2 + g xz + h z^2 + r(xy - z^2)となるような
f,g,h,r∈k[x,y,z]が存在…(1)
ここで、多項式fx^2 + g xz + h z^2 + r(xy - z^2)にあらわれる
単項式ax^ly^mz^n(0≠a∈k)について
l+m+n≧2より(1)は成立しないので、x'∈p^2ではないということになります。

y'∈p
⇔y' = f'x' + g'z'となるようなf',g'∈Aが存在。
⇔y = fx + gz + r(xy - z^2)となるようなf,g,r∈k[x,y,z]が存在…(2)
ここで、fx, gz, r(xy - z^2)のいずれを展開しても単項式ay(0≠a∈k)は
あらわれないことから(2)は成立しないので、y'∈pではないということになります。

後は一般論からわかると思います。

質問した人からのコメント

2010/11/20 15:35:47

ありがとうございます。

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